Признак Дини

Признак Ди́ни — признак поточечной сходимости ряда Фурье. Несмотря на то, что ряд Фурье функции из ${\displaystyle L_{2}([-\pi ,\pi ])}$ сходится к ней в смысле ${\displaystyle L_{2}}$-нормы, он вовсе не обязан сходиться к ней поточечно (даже в случае непрерывной функции). Тем не менее при некоторых дополнительных условиях (например, в случае, когда функция гладкая или хотя бы удовлетворяет условию Гёльдера или Липшица с каким-нибудь положительным показателем) поточечная сходимость всё же имеет место.

Сходимость ряда Фурье в конкретной точке является локальным свойством функции: если две функции совпадают в некоторой окрестности точки ${\displaystyle t}$, то их ряды Фурье в этой точке сходятся или расходятся одновременно.

Признак Дини устанавливает весьма общее условие такой сходимости. Назван в честь итальянского математика Улисса Ди́ни.

Положим для ${\displaystyle \delta >0}$

${\displaystyle \omega _{f}(t,\delta )=\sup \limits _{s:|s-t|\leqslant \delta }|f(t)-f(s)|}$.

(модуль непрерывности функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle t}$).

Если функция ${\displaystyle f}$ удовлетворяет условию

${\displaystyle \int \limits _{0+}\limits {\frac {\omega _{f}(t,\delta )\,d\delta }{\delta }}<+\infty }$,

то её ряд Фурье в точке ${\displaystyle t}$ сходится к ${\displaystyle f(t)}$ .

Замечание. Условия признака Дини выполняются, в частности, при

${\displaystyle \omega _{f}(t,\delta )\leqslant C\left({\frac {1}{\mathop {\mathrm {ln} } {\frac {1}{\delta }}}}\right)^{\gamma },}$

где ${\displaystyle \gamma >1}$ (Это гораздо более слабое условие, чем любое условие Гёльдера). Взять ${\displaystyle \gamma =1}$ нельзя.

Справедлива также модификация признака Дини для случая, когда функция ${\displaystyle f}$ имеет разрыв в точке ${\displaystyle t}$, но тем не менее её сужения на промежутки ${\displaystyle (t-\varepsilon ,t)}$ и ${\displaystyle (t,t+\varepsilon )}$ могут быть продолжены до функций, удовлетворяющих признаку Дини.

Пусть ${\displaystyle f_{+},f_{-}}$ — некоторые числа. Положим для ${\displaystyle \delta >0}$

${\displaystyle \omega _{f,f_{+}}^{+}(t,\delta ):=\sup \limits _{s\in (t,t+\delta )}|f(s)-f_{+}|}$,

${\displaystyle \omega _{f,f_{-}}^{-}(t,\delta ):=\sup \limits _{s\in (t-\delta ,t)}|f(s)-f_{-}|}$.

Если числа ${\displaystyle f_{+}}$, ${\displaystyle f_{-}}$ и функция ${\displaystyle f}$ таковы, что

${\displaystyle \int \limits _{0+}\limits {\frac {\omega _{f,f_{+}}^{+}(t,\delta )\,d\delta }{\delta }}<+\infty }$,

${\displaystyle \int \limits _{0+}\limits {\frac {\omega _{f,f_{-}}^{-}(t,\delta )\,d\delta }{\delta }}<+\infty }$,

то ряд Фурье функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle t}$ сходится к ${\displaystyle {\frac {f_{+}+f_{-}}{2}}}$.

Если модуль непрерывности функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle t}$ удовлетворяет условию

${\displaystyle \omega _{f}(t,\delta )=o\left({\frac {1}{\mathop {\mathrm {ln} } {\frac {1}{\delta }}}}\right)}$,

то ряд Фурье функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle t}$ сходится к ${\displaystyle f(t)}$

Если возрастающая неотрицательная функция ${\displaystyle \Omega }$ такова, что

${\displaystyle \int \limits _{0+}\limits {\frac {\Omega (\delta )\,d\delta }{\delta }}=+\infty }$,

то существует функция ${\displaystyle f}$, такая, что

${\displaystyle \omega _{f}(t,\delta )\leqslant \Omega (\delta )}$

при всех достаточно маленьких ${\displaystyle \delta }$, и ряд Фурье функции ${\displaystyle f}$ расходится в точке ${\displaystyle t}$.

Существует функция ${\displaystyle f}$ с расходящимся в нуле рядом Фурье, удовлетворяющая условию

${\displaystyle \omega _{f}(0,\delta )=O\left({\frac {1}{\mathop {\mathrm {ln} } {\frac {1}{\delta }}}}\right)}$,

Рассмотрим периодическое продолжение функции ${\displaystyle x^{2}}$ с промежутка ${\displaystyle [-\pi ,\pi )}$:

${\displaystyle f(x)=\left(\pi \left\{{\frac {x}{\pi }}\right\}\right)^{2},}$

где фигурные скобки означают дробную часть числа. Несложно найти разложение этой функции в ряд Фурье:

${\displaystyle f(x)\sim {\frac {\pi ^{2}}{3}}+4\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{2}}}\cos nx}$

Подставляя ${\displaystyle x=0}$ и ${\displaystyle x=\pi }$, и пользуясь для обоснования поточечной сходимости соответственно обычным и модифицированным признаком Дини, получаем равенства:

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{12}}}$

и

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$.

• Теорема Дини