Признак Дюбуа-Реймона

Признак Дюбуа-Реймона — признак сходимости числовых рядов вида $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$ (в общем случае $a_{n}$ и $b_{n}$ — комплексные). Установлен Полем (Паулем) Дюбуа-Реймоном.

Формулировка

Ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}\ (a_{n},\;b_{n}\in \mathbb {C} )$ сходится, если:
ряд $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ — сходится;
ряд $\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}-a_{n+1})$ — абсолютно сходится.

Для несобственных интегралов

Произведение $f(x)g(x)$ ( $f,\;g\colon I\to \mathbb {R}$ ) интегрируемо на $I$ , если:
$f(x)$ интегрируема на $[a,\;c]\ \forall c\geqslant a$ и $F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(s)\,ds$ ограничен на $I$ ;
$g(x)$ дифференцируема на $[a,\;\infty )$ и $g'(x)$ абсолютно интегрируема на $I$ ;
существует предел $\lim _{x\to \infty }F(x)g(x)$ .

Литература

И. М. Виноградов. Дюбуа-реймона признак // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985. // Математическая энциклопедия. — Т. 2.
Bartle R. G. A modern theory of integration

Признаки сходимости рядов
Для всех рядов	Необходимое условие Критерий Коши	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Для знакоположительных рядов	Основной критерий Признак сравнения Признак Куммера Признак Гаусса Радикальный признак Коши Интегральный признак Признак Д’Аламбера Степенной признак Логарифмический признак Признак Раабе Признак Бертрана Признак Жамэ Признак Шлёмильха Признак Ермакова Признак Лобачевского Телескопический признак Признак Сапогова
Для знакочередующихся рядов	Признак Лейбница
Для рядов вида $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Признак Абеля Признак Дедекинда Признак Дюбуа-Реймона Признак Дирихле
Для функциональных рядов	Признак Вейерштрасса Теорема Дини
Для рядов Фурье	Признак Дини Признак Валле-Пуссена Признак Жордана Признак Юнга Признак Салема Признак Лебега Признак Лебега — Гергена Признак Марцинкевича

Похожие исследовательские статьи

Математи́ческое ожида́ние — понятие в теории вероятностей, означающее среднее значение случайной величины. В случае непрерывной случайной величины подразумевается взвешивание по плотности распределения. Математическое ожидание случайного вектора равно вектору, компоненты которого равны математическим ожиданиям компонентов случайного вектора.

Ряд Фурье́ — представление функции $\text{[math]}$ с периодом $\text{[math]}$ в виде ряда

\text{[math]}

Преобразование Фурье́ — операция, сопоставляющая одной функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами.

<span class="mw-page-title-main">Интеграл Римана</span> простейшее определение интеграла

Интегра́л Ри́мана — наиболее широко используемый вид определённого интеграла. Очень часто под термином «определённый интеграл» понимается именно интеграл Римана, и он изучается самым первым из всех определённых интегралов во всех курсах математического анализа. Введён Бернхардом Риманом в 1854 году, и является одной из первых формализаций понятия интеграла.

Ко́мпле́ксный ана́лиз, тео́рия фу́нкций ко́мпле́ксного переме́нного — раздел математического анализа, в котором рассматриваются и изучаются функции комплексного аргумента.

Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Частный случай разложения в ряд Тейлора в нулевой точке называется рядом Маклорена.

Распределение вероятностей — это закон, описывающий область значений случайной величины и вероятности их исхода (появления).

<span class="mw-page-title-main">Ряд (математика)</span> понятие в математическом анализе

Ряд в математике — одно из центральных понятий математического анализа, математическая концепция, представляющая собой сумму бесконечного числа слагаемых, упорядоченных в определённой последовательности. В простейшем случае ряд записывается как бесконечная сумма чисел:

\text{[math]}

Краткая запись:

\text{[math]}

(иногда нумерацию слагаемых начинают не с 1, а с нуля).

<span class="mw-page-title-main">Интеграл Лебега</span>

Интеграл Лебе́га — это обобщение интеграла Римана на более широкий класс функций.

Интегральный признак Коши́ — Макло́рена — признак сходимости убывающего положительного числового ряда. Признак Коши — Маклорена даёт возможность свести проверку сходимости ряда к проверке сходимости несобственного интеграла соответствующей функции на $\text{[math]}$ , последний часто может быть найден в явном виде.

Сходящийся ряд $\text{[math]}$ называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд из модулей $\text{[math]}$ , иначе — сходящимся условно.

Признак Дирихле — теорема, указывающая достаточные условия сходимости несобственных интегралов и суммируемости бесконечных рядов. Названа в честь немецкого математика Лежёна Дирихле.

Теорема о монотонной сходимости — это теорема из теории интегрирования Лебега, имеющая фундаментальное значение для функционального анализа и теории вероятностей, где служит инструментом для доказательства многих положений. Даёт одно из условий при которых можно переходить к пределу под знаком интеграла Лебега, теорема позволяет доказать существование суммируемого предела у некоторых ограниченных функциональных последовательностей.

Ле́мма Фату́ — техническое утверждение, используемое при доказательстве различных теорем в функциональном анализе и теории вероятностей. Оно даёт одно из условий, при которых предел почти всюду сходящейся функциональной последовательности будет суммируемым.

Пусть $\text{[math]}$ — произвольное множество, $\text{[math]}$ — метрическое пространство, $\text{[math]}$ — последовательность функций. Говорят, что последовательность $\text{[math]}$ равномерно сходится к функции $\text{[math]}$ , если для любого $\text{[math]}$ существует такой номер $\text{[math]}$ , что для всех номеров $\text{[math]}$ и всех точек $\text{[math]}$ выполняется неравенство

\text{[math]}

Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида:

\text{[math]}

Функциональный ряд — ряд, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция $\text{[math]}$ .

Тригонометрический ряд Фурье — представление произвольной функции $\text{[math]}$ с периодом $\text{[math]}$ в виде ряда

Признак Дедекинда — признак сходимости числовых рядов вида $\text{[math]}$ . Установлен Юлиусом Дедекиндом.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.