Признак Раабе

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Признак Раабе (признак Раабе — Дюамеля) — признак сходимости знакоположительных числовых рядов, установленный в 1832 году Йозефом Людвигом Раабе (Joseph Ludwig Raabe)[1] и независимо в 1839 году Жаном-Мари Дюамелем[2].

Формулировка

Ряд сходится, если при достаточно больших выполняется неравенство

где .

Eсли , начиная с некоторого , то ряд расходится.

Формулировка в предельной форме

Если существует предел:

то при ряд сходится, а при — расходится.

Замечание. Если , то признак Раабе не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

Доказательство

Доказательство основано на применении признака сравнения отношений при сравнении с обобщённым гармоническим рядом.

Пример

Для признак в предельной форме дает 2, что означает сходимость ряда.

См. также

  • Признак сходимости д’Аламбера — аналогичный признак, основанный на отношении соседних членов.

Примечания

  1. J. L. Raabe. Untersuchungen über die Convergenz und Divergenz der Reihen (нем.) // Zeitschrift für Physik und Mathematik. — 1832. — Bd. 10. — S. 41—74.
  2. M. Duhamel. Nouvelle règle pour la convergence des séries (фр.) // J. de mathématiques pures et appliquées. — 1839. — Vol. 4. — P. 214—221.

Литература

  • Архипов, Г. И., Садовничий, В. А., Чубариков, В. Н. Лекции по математическому анализу : Учебник университетов и пед. вузов / Под ред. В. А. Садовничего. — М.: Высшая школа, 1999. — 695 с. — ISBN 5-06-003596-4..
  • И. М. Виноградов. Раабе признак // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. — 1977—1985.

Ссылки