Признак Сапогова

Признак Сапогова — признак сходимости числового ряда, предложенный Николаем Александровичем Сапоговым.

Формулировка

Пусть $(b_{n})$ есть монотонно возрастающая последовательность положительных чисел, тогда ряд

\sum _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {b_{n}}{b_{n+1}}}\right)

равно как и ряд

\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}-1\right)

сходится, если последовательность ограничена $(b_{n})$ и расходится, если $(b_{n})$ — не ограничена.

Литература

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 1974. — Т. 2. — С. 291.
A.D. Polyanin, A.V. Manzhirov. Handbook of Mathematics for Engineers and Scientists. — 2006. — С. 340. — 1544 с. — ISBN 978-1420010510.

Признаки сходимости рядов
Для всех рядов	Необходимое условие Критерий Коши	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Для знакоположительных рядов	Основной критерий Признак сравнения Признак Куммера Признак Гаусса Радикальный признак Коши Интегральный признак Признак Д’Аламбера Степенной признак Логарифмический признак Признак Раабе Признак Бертрана Признак Жамэ Признак Шлёмильха Признак Ермакова Признак Лобачевского Телескопический признак Признак Сапогова
Для знакочередующихся рядов	Признак Лейбница
Для рядов вида $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Признак Абеля Признак Дедекинда Признак Дюбуа-Реймона Признак Дирихле
Для функциональных рядов	Признак Вейерштрасса Теорема Дини
Для рядов Фурье	Признак Дини Признак Валле-Пуссена Признак Жордана Признак Юнга Признак Салема Признак Лебега Признак Лебега — Гергена Признак Марцинкевича

Похожие исследовательские статьи

Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , в которой первый член отличен от нуля, а каждый из последующих членов, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на ненулевую константу $\text{[math]}$ . Выражаясь математически: $\text{[math]}$ .

При́знак д’Аламбе́ра — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.

Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Частный случай разложения в ряд Тейлора в нулевой точке называется рядом Маклорена.

Радикальный признак Коши — признак сходимости числового ряда:

Интегральный признак Коши́ — Макло́рена — признак сходимости убывающего положительного числового ряда. Признак Коши — Маклорена даёт возможность свести проверку сходимости ряда к проверке сходимости несобственного интеграла соответствующей функции на $\text{[math]}$ , последний часто может быть найден в явном виде.

Знакочередующийся ряд — математический ряд, члены которого попеременно принимают значения противоположных знаков, то есть:

\text{[math]}

Сходящийся ряд $\text{[math]}$ называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд из модулей $\text{[math]}$ , иначе — сходящимся условно.

Признак Дирихле — теорема, указывающая достаточные условия сходимости несобственных интегралов и суммируемости бесконечных рядов. Названа в честь немецкого математика Лежёна Дирихле.

Функциональный ряд — ряд, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция $\text{[math]}$ .

Гармони́ческий ряд — сумма, составленная из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда:

\text{[math]}

Интерполяционная формула Уиттекера — Шеннона служит для восстановления непрерывного сигнала с ограниченным спектром из последовательности равноотстоящих отсчётов.

Признак Бертрана — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный в 1842 году Жозефом Бертраном. В своём выводе Бертран ссылается на труд Огастеса де Моргана «The Differential and Integral Calculus», изданный в 1839 году.

Признак Жамэ — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Виктором Жамэ.

Признак сравнения — утверждение об одновременности расходимости или сходимости двух рядов, основанный на сравнении членов этих рядов.

Биномиальное преобразование — последовательность преобразований или же преобразование последовательности, которая вычисляет её конечные разности. Понятие биномиального преобразования тесно связано с преобразованием Эйлера, которое является результатом применения биномиального преобразования к последовательности.

Теорема Таубера — теорема о свойствах степенных рядов вблизи границы круга сходимости. Является простейшей обратной теоремой к теореме Абеля о сходимости степенных рядов. Доказана А. Таубером в 1897 году. Впоследствии была сформулирована и доказана при более общих условиях другими авторами.

Постоя́нная Хи́нчина — вещественная константа $\text{[math]}$ , равная среднему геометрическому элементов разложения в цепную дробь любого из почти всех вещественных чисел.

При́знаки сходи́мости числового ряда — методы, позволяющие установить сходимость или расходимость бесконечного ряда $\text{[math]}$

Признак Шлёмильха — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Оскаром Шлёмильхом.

Последовательность Аппеля — последовательность многочленов $\text{[math]}$ удовлетворяющая тождеству:

\text{[math]}

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.