Признак Шлёмильха

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Признак Шлёмильха — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Оскаром Шлёмильхом.

Формулировка

Если существует такое , что начиная с некоторого номера выполняется неравенство:

то ряд сходится.

Если же , начиная с некоторого , то ряд расходится.


Формулировка в предельной форме

Если существует предел:

то при ряд сходится, а при — расходится.


Замечание. Если , то признак Шлёмильха не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

Сравнение с признаком Раабе

Признак Шлёмильха позволяет установить сходимость некоторых рядов, для которых неприменим признак Раабе[1]. Например, для ряда:

,

соотношение соседних членов:

;

признак Раабе для него даёт:

,

а признак Шлёмильха:

Аналогично, признак Бертрана также подтверждает сходимость этого ряда:

.

Пример неприменимости

Однако, признак Шлёмильха менее чувствителен, чем признак Бертрана. Например, он не позволяет установить сходимость ряда:[1]

Для него соотношение соседних членов:

Признак Раабе для него даёт:

,

также, как и признак Шлёмильха:

С другой стороны, признак Бертрана однозначно указывает на сходимость этого ряда:

.

Примечания

  1. 1 2 Franciszek Prus-Wiśniowski, Comparison of Raabe’s and Schlömilch’s tests Архивная копия от 29 января 2022 на Wayback Machine, Tatra Mt. Math. Publ. 42 (2009), 119—130

Литература

  • Subir Kumar Mukherjee. Theorem 15 // First Course in Real Analysis (англ.). — Kolkata: Academic Publishers, 2009. — P. 190. — 383 p. — ISBN 9788189781903.