Признак сравнения

Признак сравнения — утверждение об одновременности расходимости или сходимости двух рядов, основанный на сравнении членов этих рядов.

Пусть даны два знакоположительных ряда:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ и ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$

.

Тогда, если, начиная с некоторого места (${\displaystyle n>N}$), выполняется неравенство:

${\displaystyle 0\leqslant a_{n}\leqslant b_{n}}$,

то из сходимости ряда ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ следует сходимость ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$.

Или же, если ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ расходится, то расходится и ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$.

Обозначим ${\displaystyle \sigma _{n}}$ частные суммы ряда ${\displaystyle \sum b_{k}}$. Из неравенств ${\displaystyle (*)}$ следует, что ${\displaystyle 0\leqslant s_{n}\leqslant \sigma _{n},\forall n.}$ Поэтому из ограниченности ${\displaystyle (\sigma _{n})}$ вытекает ограниченность ${\displaystyle (s_{n}),}$ а из неограниченности ${\displaystyle (s_{n})}$ следует неограниченность ${\displaystyle (\sigma _{n}).}$ Справедливость признака вытекает из критерия сходимости для ${\displaystyle \sum b_{k}.}$

Также признак сравнения можно сформулировать в более удобной форме — в виде отношений.

Если для членов строго положительных рядов ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ и ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$, начиная с некоторого места (${\displaystyle n>N}$), выполняется неравенство:

${\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leqslant {\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}}$,

то из сходимости ряда ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ следует сходимость ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$, а из расходимости ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ следует расходимость ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$.

Перемножая неравенства, составленные для ${\displaystyle k=1,2,...,n-1}$, получаем

${\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{1}}}\leqslant {\frac {b_{n}}{b_{1}}},}$ или ${\displaystyle a_{n}\leqslant {\frac {a_{1}}{b_{1}}}\,b_{n},\forall n.}$

Дальше достаточно применить признак сравнения для положительных рядов ${\displaystyle \sum a_{k}}$ и ${\displaystyle \sum {\frac {a_{1}}{b_{1}}}\,b_{k}}$ (и учесть, что постоянный множитель не влияет на сходимость).

Поскольку достоверно установить справедливость этого неравенства при любых n — довольно сложная задача, то на практике признак сравнения обычно используется в предельной форме.

Если ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ и ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ есть строго положительные ряды и

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c}$,

то при ${\displaystyle 0\leqslant c<\infty }$ из сходимости ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ следует сходимость ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$, а при ${\displaystyle 0<c\leqslant \infty }$ из расходимости ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ следует расходимость ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$.

Из ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c}$ мы знаем, что для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует ${\displaystyle n_{0}}$ такое, что для всех ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ мы имеем ${\displaystyle \left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c\right|<\varepsilon }$, или, что то же самое:

${\displaystyle -\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c<\varepsilon }$

${\displaystyle c-\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<c+\varepsilon }$

${\displaystyle (c-\varepsilon )b_{n}<a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n}}$

Так как ${\displaystyle c>0}$, мы можем взять ${\displaystyle \varepsilon }$ достаточно малым, чтобы ${\displaystyle c-\varepsilon }$ было положительным. Но тогда ${\displaystyle b_{n}<{\frac {1}{c-\varepsilon }}a_{n}}$, и по вышеописанному признаку сравнения если ${\displaystyle \sum _{n}a_{n}}$ сходится, то сходится и ${\displaystyle \sum _{n}b_{n}}$.

Точно так же ${\displaystyle a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n}}$, и тогда, если ${\displaystyle \sum _{n}b_{n}}$ сходится, то сходится и ${\displaystyle \sum _{n}a_{n}}$.

Таким образом либо оба ряда сходятся, либо они оба расходятся.

• Ю. С. Богданов — «Лекции по математическому анализу» — Часть 2 — Минск — Издательство БГУ им. В. И. Ленина — 1978.
• Г. М. Фихтенгольц. Теоремы сравнения рядов // Основы математического анализа. — СПб.: Лань, 2001. — Т. 2. — С. 17-19. — 464 с. — ISBN 5-8114-0191-4.

• http://www.math24.ru/comparison-tests.html