Примарный идеал

Перейти к навигации Перейти к поиску

В коммутативной алгебре идеал Q коммутативного кольца A называется примарным, если он не совпадает со всем кольцом, и для любого элемента Q вида xy либо x, либо yⁿ для некоторого n>0 также является элементом Q. Например, в кольце целых чисел Z идеал примарен тогда и только тогда, когда он имеет вид (pⁿ), где p — простое число.

Примарные идеалы важны в теории коммутативных колец, потому что любой идеал нётерова кольца имеет примарное разложение, то есть может быть записан как пересечение конечного числа примарных идеалов. Этот результат известен как теорема Ласкера — Нётер.

Примарные идеалы обычно рассматриваются в теории коммутативных колец, поэтому в дальнейших примерах кольцо предполагается коммутативным и с единицей.

Примеры и свойства

Любой простой идеал является примарным.
Идеал примарен тогда и только тогда, когда в факторкольце по нему любой делитель нуля является нильпотентным.
Если Q — примарный идеал, то его радикал P является простым. В этом случае Q называется P-примарным.
Если P — максимальный простой идеал, то любая степень P — примарный идеал. Однако не все P-примарные идеалы являются степенями P, например, идеал (x, y²) является P-примарным для P = (x, y) в кольце k[x, y], но не является степенью P.
Если A — нётерово кольцо и P — простой идеал, то ядро $A\to A_{P}$ отображения из A в его локализацию по идеалу P является пересечением всех P-примарных идеалов.^[1]

Примечания

↑ Атья-Макдональд, Corollary 10.21

Литература

Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — Факториал Пресс, 2003 — ISBN 5-88688-067-4.
Gorton, Christine; Heatherly, Henry (2006), "Generalized primary rings and ideals", Math. Pannon., 17 (1): 17—28, ISSN 0865-2090, MR 2215638

Похожие исследовательские статьи

Кольцо́ в общей алгебре — алгебраическая структура, в которой определены операция обратимого сложения и операция умножения, по свойствам похожие на соответствующие операции над числами. Простейшими примерами колец являются совокупности чисел, совокупности числовых функций, определённых на заданном множестве. Во всех случаях имеется множество, похожее на совокупности чисел в том смысле, что его элементы можно складывать и умножать, причём эти операции ведут себя естественным образом.

Идеал — одно из основных понятий общей алгебры. Наибольшее значение идеалы имеют в теории колец, но также определяются и для полугрупп, алгебр и некоторых других алгебраических структур. Название «идеал» ведёт своё происхождение от «идеальных чисел», которые были введены в 1847 году немецким математиком Э. Э. Куммером. Простейшим примером идеала может служить подкольцо чётных чисел в кольце целых чисел. Идеалы дают удобный язык для обобщения результатов теории чисел на общие кольца.

Тополо́гия Зари́сского, или топология Зариского, — специальная топология, отражающая алгебраическую природу алгебраических многообразий. Названа в честь Оскара Зарисского и, начиная с 1950-х годов, занимает важное место в алгебраической геометрии.

Коммутативная алгебра — раздел общей алгебры, изучающий свойства коммутативных колец и связанных с ними объектов, в частности теорию полей. Коммутативная алгебра является основой алгебраической геометрии и алгебраической теории чисел. Наиболее яркие примеры коммутативных колец, изучаемых коммутативной алгеброй — кольца многочленов и кольца целых алгебраических чисел.

Нильпотентный элемент — элемент кольца, некоторая степень которого обращается в ноль.

Нильрадикал коммутативного кольца — идеал, состоящий из всех его нильпотентных элементов.

Нильпотентный идеал — идеал $\text{[math]}$ кольца $\text{[math]}$ , для которого существует натуральное число $\text{[math]}$ , такое, что $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ — аддитивная подгруппа, порождённая множеством всех произведений из $\text{[math]}$ элементов идеала $\text{[math]}$ , то есть идеал нильпотентен тогда и только тогда, когда существует натуральное число $\text{[math]}$ , такое, что произведение любых $\text{[math]}$ элементов идеала $\text{[math]}$ равно 0. Наибольший интерес понятие нильпотентного идеала представляет для случая некоммутативных колец.

Простой идеал — естественное обобщение понятия простого числа в теории колец.

Кольцом частных S⁻¹R коммутативного кольца R по мультипликативной системе $\text{[math]}$ называется пространство дробей с числителями из R и знаменателями из S с арифметическими операциями и отождествлениями, обычными для дробей.

А́ртиново кольцо́ — ассоциативное кольцо А с единичным элементом, в котором выполняется следующее условие обрыва убывающих цепей: всякая последовательность идеалов $\text{[math]}$ стабилизируется, то есть начиная с некоторого $\text{[math]}$

\text{[math]}

Нётерово кольцо́ — тип колец, обобщение кольца главных идеалов. Названы в честь Эмми Нётер.

Теоре́ма Ги́льберта о ба́зисе — одна из основных теорем о нётеровых кольцах:

Если R — нётерово кольцо, то кольцо многочленов R[x] также нётерово.

В коммутативной алгебре радикал идеала I — это идеал, образованный всеми элементами x такими, что некоторая степень x принадлежит I. Радикальный идеал — это идеал, совпадающий со своим собственным радикалом.

Коммутативное кольцо — кольцо, в котором операция умножения коммутативна. Изучением свойств коммутативных колец занимается коммутативная алгебра.

Размерность Крулля — числовая характеристика коммутативных колец, наибольшая длина цепочки вложенных друг в друга простых идеалов данного кольца. Не обязательно является конечной даже для нётеровых колец.

Целый элемент — элемент заданного коммутативного кольца с единицей $\text{[math]}$ относительно подкольца $\text{[math]}$ , являющийся корнем приведённого многочлена с коэффициентами в $\text{[math]}$ , то есть такой $\text{[math]}$ , для которого существуют коэффициенты $\text{[math]}$ , такие что:

\text{[math]}

В общей алгебре, дедекиндово кольцо — это целостное кольцо, в котором каждый ненулевой собственный идеал раскладывается в произведение простых идеалов. Можно показать, что в этом случае разложение единственно с точностью до порядка сомножителей. Ниже приведено несколько других описаний дедекиндовых колец, которые можно принять за определение.

Кольцо дискретного нормирования — это кольцо, которое можно получить в результате дискретного нормирования некоторого поля выбором подмножества элементов с неотрицательной нормой. Такое кольцо можно определить множеством эквивалентных способов.

Теорема Ласкера — Нётер утверждает, что каждый идеал нётерова кольца можно записать в виде конечного пересечения примарных идеалов. Такое представление идеала называется примарным разложением. В случае области главных идеалов это эквивалентно представлению в виде конечного пересечения степеней простых идеалов, то есть обобщает основную теорему арифметики. В 1905 теорема была доказана Эмануилом Ласкером в частном случае колец многочленов или сходящихся степенных рядов; общий случай теоремы доказала Эмми Нётер в 1921 году.

Кольцо Крулля — коммутативное кольцо с относительно хорошими свойствами разложения на простые. Впервые были исследованы Вольфгангом Круллем в 1931 году. Кольца Крулля являются многомерным обобщением дедекиндовых колец: дедекиндово кольцо — это в точности кольцо Крулля размерности не более 1.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.