Примитивный многочлен (алгебра)

В алгебре примитивный многочлен — это всякий многочлен ${\displaystyle f(x)\in R[x]}$, где ${\displaystyle R}$ — ассоциативно-коммутативное кольцо, с однозначным разложением на множители, коэффициенты которого не имеют нетривиальных общих делителей.

Любой многочлен ${\displaystyle g(x)\in R[x]}$ можно записать в виде ${\displaystyle g(x)=c_{g}\cdot f(x)}$, где ${\displaystyle f(x)}$ — примитивный многочлен, a ${\displaystyle c_{g}}$ — наибольший общий делитель коэффициентов многочлена ${\displaystyle g(x)}$. Элемент ${\displaystyle c_{g}\in R}$, определён с точностью до умножения на обратимые элементы из R, он называется содержанием многочлена ${\displaystyle g(x)}$.

Если ${\displaystyle g_{1}(x),g_{2}(x)\in R[x]}$, то ${\displaystyle c_{g_{1}g_{2}}=c_{g_{1}}c_{g_{2}}}$. В частности, произведение примитивных многочленов снова примитивно.

Сначала докажем, что произведение примитивных многочленов есть примитивный многочлен. Для этого достаточно проверить, что если простой элемент ${\displaystyle p}$ кольца ${\displaystyle R}$ делит все коэффициенты многочлена ${\displaystyle f(x)g(x)}$, то он является общим делителем всех коэффициентов многочлена ${\displaystyle f(x)}$ или общим делителем всех коэффициентов многочлена ${\displaystyle g(x)}$. Пусть ${\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n}}$, ${\displaystyle g(x)=b_{0}+b_{1}x+\ldots +b_{m}x^{m}}$, ${\displaystyle n=\operatorname {deg} f,m=\operatorname {deg} g}$ — степени этих многочленов. Проведем индукцию по ${\displaystyle m+n}$. Если ${\displaystyle m+n=0}$, то ${\displaystyle m=0}$ и ${\displaystyle n=0}$, ${\displaystyle f(x)=a_{0},g(x)=b_{0}}$. Если ${\displaystyle p}$ делит ${\displaystyle a_{0}b_{0}}$, то так как кольцо ${\displaystyle R}$ факториально, ${\displaystyle p}$ делит ${\displaystyle a_{0}}$ или ${\displaystyle p}$ делит ${\displaystyle b_{0}}$, то есть в этом случае утверждение верно. В общем случае ${\displaystyle f(x)g(x)=a_{0}b_{0}+(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0})x+\ldots +a_{n}b_{m}x^{n+m}}$. Предположим, что некоторый простой элемент ${\displaystyle p}$ кольца ${\displaystyle R}$ делит все коэффициенты многочлена ${\displaystyle f(x)g(x)}$. Так как ${\displaystyle p\mid a_{n}b_{m}}$ и кольцо ${\displaystyle R}$ факториально, то ${\displaystyle p\mid a_{n}}$ или ${\displaystyle p\mid b_{m}}$. Пусть для определенности ${\displaystyle p\mid a_{n}}$. Если ${\displaystyle n=0}$, то ${\displaystyle p}$ делит все коэффициенты многочлена ${\displaystyle f(x)}$. Если же ${\displaystyle n>0}$, то заметим, что ${\displaystyle p}$ будет и общим делителем всех коэффициентов многочлена ${\displaystyle f_{1}(x)g(x)}$, где ${\displaystyle f_{1}(x)=f(x)-a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n-1}x^{n-1}}$. Действительно, все коэффициенты многочлена ${\displaystyle f(x)g(x)-f_{1}(x)g(x)=a_{n}x^{n}g(x)}$ делятся на ${\displaystyle a_{n}}$, а значит, и на ${\displaystyle p}$. По предположению индукции ${\displaystyle p}$ делит все коэффициенты многочлена ${\displaystyle f_{1}(x)}$ или все коэффициенты многочлена ${\displaystyle g(x)}$. В первом случае ${\displaystyle p}$ делит также и все коэффициенты многочлена ${\displaystyle f(x)=f_{1}(x)+a_{n}x^{n}}$. По принципу математической индукции утверждение доказано для всех значений ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$

Докажем, что ${\displaystyle c_{f}c_{f}=c_{fg}}$. Пусть ${\displaystyle f=c_{f}f_{0}}$, ${\displaystyle g=c_{g}g_{0}}$, где ${\displaystyle f_{0}}$, ${\displaystyle g_{0}}$ — примитивные многочлены. Тогда ${\displaystyle fg=c_{f}c_{g}f_{0}g_{0}}$. Так как многочлен ${\displaystyle f_{0}g_{0}}$ по доказанному примитивен, то ${\displaystyle c_{fg}=c_{f}c_{g}}$. Лемма доказана.

• Зарисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 1, М.