Принцип Дюамеля

В математике, а более конкретно в дифференциальных уравнениях, принцип Дюамеля позволяет найти решение неоднородного волнового уравнения, а также неоднородного уравнения теплопроводности^[1]. Он назван в честь Жан-Мари Констан Дюамеля (1797—1872), французского математика.

Дано неоднородное волновое уравнение:

${\displaystyle u_{tt}-c^{2}u_{xx}=f(x,t)}$

с начальными условиями

${\displaystyle u(x,0)=u_{t}(x,0)=0.}$

Решение имеет вид:

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{2c}}\int _{0}^{t}\int _{x-c(t-s)}^{x+c(t-s)}f(\xi ,s)\,d\xi \,ds.}$

Принцип Дюамеля говорит, что решение неоднородного линейного уравнения в частных производных может быть найдено путём нахождения решения для однородного уравнения, а затем подстановкой его в интеграл Дюамеля. Предположим, у нас есть неоднородное обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами порядка m:

${\displaystyle P(\partial _{t})u(t)=F(t)}$

${\displaystyle \partial _{t}^{j}u(0)=0,\;0\leq j\leq m-1}$

где

${\displaystyle P(\partial _{t}):=a_{m}\partial _{t}^{m}+\cdots +a_{1}\partial _{t}+a_{0},\;a_{m}\neq 0.}$

Мы можем решить сначала однородное ОДУ, используя следующие методы. Все шаги делаются формально, игнорируя требования, необходимые для того, чтобы решение было четко определено.

${\displaystyle P(\partial _{t})G=0,\;\partial _{t}^{j}G(0)=0,\quad 0\leq j\leq m-2,\;\partial _{t}^{m-1}G(0)=1/a_{m}.}$

Определим ${\displaystyle H=G\chi _{[0,\infty )}}$, ${\displaystyle \chi _{[0,\infty )}}$ - характеристическая функция на интервале ${\displaystyle [0,\infty )}$. Тогда

${\displaystyle P(\partial _{t})H=\delta }$

есть обобщённая функция.

${\displaystyle u(t)=(H\ast F)(t)}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\infty }G(\tau )F(t-\tau )\,d\tau }$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{t}G(t-\tau )F(\tau )\,d\tau }$

есть решение ОДУ.

Пусть есть неоднородное уравнение в частных производных с постоянными коэффициентами:

${\displaystyle P(\partial _{t},D_{x})u(t,x)=F(t,x)}$

где

${\displaystyle D_{x}={\frac {1}{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}}$

Мы можем решить сначала однородное ОДУ, используя следующие методы. Все шаги делаются формально, игнорируя требования, необходимые для того, чтобы решение было четко определено.

Сначала, используя Преобразование Фурье в x имеем

${\displaystyle P(\partial _{t},\xi ){\hat {u}}(t,\xi )={\hat {F}}(t,\xi ).}$

где ${\displaystyle P(\partial _{t},\xi )}$ это ОДУ порядка m по t. Пусть ${\displaystyle a_{m}}$ это коэффициент слагаемого наивысшего порядка в ${\displaystyle P(\partial _{t},\xi )}$.

Для каждого ${\displaystyle \xi }$ решим ${\displaystyle G(t,\xi )}$

${\displaystyle P(\partial _{t},\xi )G(t,\xi )=0,\;\partial _{t}^{j}G(0,\xi )=0\;{\mbox{ for }}0\leq j\leq m-2,\;\partial _{t}^{m-1}G(0,\xi )=1/a_{m}.}$

Определим ${\displaystyle H(t,\xi )=G(t,\xi )\chi _{[0,\infty )}(t)}$. Тогда

${\displaystyle P(\partial _{t},\xi )H(t,\xi )=\delta (t)}$

есть обобщённая функция.

${\displaystyle {\hat {u}}(t,\xi )=(H(\cdot ,\xi )\ast {\hat {F}}(\cdot ,\xi ))(t)}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\infty }G(\tau ,\xi )F(t-\tau ,\xi )\,d\tau }$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{t}G(t-\tau ,\xi )F(\tau ,\xi )\,d\tau }$

есть решение уравнения (после перехода назад к x).