Принцип Фрагмена — Линделёфа

Для аналитических функций справедлив так называемый принцип максимума модуля, который предписывает четкое расположение максимума модуля для аналитической в некоторой ограниченной области функции исключительно на границе этой области. В общем случае для неограниченных областей такое предположение неверно. Однако при наложении на функцию некоторых дополнительных ограничений можно показать, что функция будет ограничена по модулю и в неограниченной области.

Пусть функция ${\displaystyle f}$ аналитична в секторе ${\displaystyle S=\{z:-{\frac {\pi }{4}}<\arg z<{\frac {\pi }{4}}\}}$ и непрерывна на его границе. Тогда, если на границе этого сектора справедливо неравенство ${\displaystyle |f(z)|\leq 1}$ и существуют постоянные ${\displaystyle c,C\in \mathbb {R} }$ такие, что во всем секторе выполняется неравенство ${\displaystyle |f(z)|\leq Ce^{c|z|}}$, тогда неравенство ${\displaystyle |f(z)|\leq 1}$ справедливо во всем секторе.

Пусть ${\displaystyle \Omega =\{z:\mathop {\mathrm {Im} } \,z>y_{0},x_{1}<\mathop {\mathrm {Re} } \,z<x_{2}\}}$ — бесконечная вертикальная полуполоса, далее, пускай существуют постоянные ${\displaystyle M,A,B}$ такие, что на границе полосы выполнено неравенство ${\displaystyle |f(z)|\leq M}$, а в самой полосе выполняется неравенство ${\displaystyle |f(z)|\leq B{(\mathop {\mathrm {Im} } \,f(z))}^{A}}$. Тогда ${\displaystyle |f(z)|\leq M}$ выполнено во всей полосе.