Принцип аргумента

Принципом аргумента в комплексном анализе называют следующую теорему:

Теорема. Если функция ${\displaystyle f}$ мероморфна в замыкании некоторой односвязной ограниченной области ${\displaystyle G}$ с гладкой границей ${\displaystyle \partial G}$ и не имеет на её границе ни нулей, ни полюсов, то справедлива следующая формула:

${\displaystyle N-P={1 \over 2\pi i}\int \limits _{\partial G}{df \over f}={1 \over 2\pi }\Delta _{\partial G}\,\operatorname {arg} \,f}$ ^[1],

где ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle P}$ — количества соответственно нулей и полюсов функции ${\displaystyle f}$ в ${\displaystyle G}$, учтённых каждый с его кратностью, а ${\displaystyle \Delta _{\partial G}\,\operatorname {arg} \,f}$ — изменение аргумента ${\displaystyle f(z)}$ при обходе вдоль контура области ${\displaystyle G}$ (ориентация контура стандартная).

Пусть ${\displaystyle f(z)=(z-a)^{k}g(z)}$, причём функция ${\displaystyle g}$ голоморфна в точке ${\displaystyle a}$ и не равна в ней нулю (точка ${\displaystyle a}$ из области ${\displaystyle G}$). Тогда

${\displaystyle {df \over f}=k{dz \over z-a}+{dg \over g}}$.

Так как 1-форма ${\displaystyle {\frac {dg}{g}}}$ голоморфна в точке ${\displaystyle a}$, её вычет в этой точке равен нулю, и вычет формы ${\displaystyle {\frac {df}{f}}}$ в точке ${\displaystyle a}$ равен ${\displaystyle k}$, то есть он равен порядку нуля (или минус порядку полюса) функции ${\displaystyle f}$ в этой точке.

Используя эти соображения и основную теорему о вычетах, интеграл в формулировке теоремы можно вычислить явно:

${\displaystyle {1 \over 2\pi i}\int \limits _{\partial G}{df \over f}=\sum \limits _{a}\operatorname {res} _{a}{df \over f}=N-P}$.

Таким образом, первая половина формулы доказана.

Чтобы доказать вторую половину формулы, проведём простой разрез ${\displaystyle \Gamma }$ внутри области ${\displaystyle G}$, проходящий через все нули и полюса функции ${\displaystyle f}$, и выходящий на границу области ${\displaystyle G}$ в некоторой точке ${\displaystyle z_{0}}$. Область с разрезом ${\displaystyle G}$\${\displaystyle \Gamma }$ теперь односвязна, и замкнутая 1-форма ${\displaystyle {\frac {df}{f}}}$ не имеет особенностей внутри неё и на контуре ${\displaystyle \partial G}$ , и значит точна в ${\displaystyle {\overline {G}}\setminus \Gamma }$, то есть допускает там первообразную ${\displaystyle F(z)}$. Функция ${\displaystyle F(z)}$ будет первообразной для формы ${\displaystyle {\frac {df}{f}}}$ также и вдоль контура области ${\displaystyle G}$ с выколотой точкой ${\displaystyle z_{0}}$. Поэтому можно применить формулу Ньютона-Лейбница:

${\displaystyle \int \limits _{\partial G}{df \over f}=\int \limits _{\partial G\setminus \{z_{0}\}}dF=F(z_{0}-0)-F(z_{0}+0)}$.

Так как ${\displaystyle dF={\frac {df}{f}}=d(\ln f)}$, то функция ${\displaystyle F(z)}$ с точностью до константы совпадает с некоторой однозначной ветвью логарифма функции ${\displaystyle f}$, и поэтому справедливо равенство:

${\displaystyle F(z)=\ln |f(z)|+i\arg f(z)+{\rm {const}}}$.

Подставляя это выражение в формулу Ньютона-Лейбница, окончательно получаем:

${\displaystyle \int \limits _{\partial G}\,{\frac {df}{f}}=F(z_{0}-0)-F(z_{0}+0)=i(\arg f(z_{0}-0)-\arg f(z_{0}+0))=i\Delta _{\partial G}\arg f}$.

• Теорема Абеля — Плана
• Аргумент