Принцип максимума модуля

Принцип максимума модуля выражается следующей теоремой:

Если $f$ голоморфна в некоторой области $G\subset \mathbb {C} ^{n}$ и существует точка $z_{0}\in G$ такая, что во всей области $G$ выполняется неравенство $|f(z_{0})|\geqslant |f(z)|$ , то $f(z)\equiv \mathrm {const}$ .

Другими словами, модуль аналитической функции, отличной от константы, не может иметь локальных максимумов внутри области $G$ .

Следствия

Принцип минимума модуля. Если $f$ аналитична в некоторой области $G\subset \mathbb {C} ^{n}$ , не обращается там в нуль, и существует точка $z_{0}\in G$ такая, что во всей области $G$ выполняется неравенство $|f(z_{0})|\leqslant |f(z)|$ , то $f(z)\equiv \mathrm {const}$ . (То есть локальные минимумы модуля аналитической функции, отличной от константы, могут достигаться только в тех точках, где она обращается в ноль.)
Принцип максимума вещественной и мнимой части. Если для аналитической функции $f(z)$ в точке $z_{0}\in G$ достигается локальный максимум (минимум) у её вещественной (или мнимой) части, тогда функция $f(z)$ есть константа.

(Здесь используется обычный принцип максимума модуля для функций $e^{f(z)}$ и $e^{if(z)}$ , а также равенство $\left|e^{f(z)}\right|=e^{\mathrm {Re} \,f(z)}$ .)

Пусть $K\subset \mathbb {C} ^{n}$ — компактное подмножество. Для всякой функции $f$ , непрерывной на $K$ и аналитичной внутри $K$ , выполнено равенство:

\|f\|_{K}=\|f\|_{\partial K}.

Если последовательность таких функций равномерно сходится на границе компакта $K$ , тогда она сходится равномерно на всём $K$ .

Лемма Шварца^[1]

Примечания

↑ Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — С. 192. — 577 с.

Литература

А. В. Домрин, А. Г. Сергеев. Часть II : Второе полугодие // Лекции по комплексному анализу. — Москва : МИАН, 2004. — С. 181. — ISBN 5-98419-006-0.

Похожие исследовательские статьи

Группой Ли над полем $\text{[math]}$ называется группа $\text{[math]}$ , снабжённая структурой дифференцируемого (гладкого) многообразия над $\text{[math]}$ , причём отображения $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ , определённые так:

\text{[math]}

\text{[math]}

Кватернио́ны — система гиперкомплексных чисел, образующая векторное пространство размерностью четыре над полем вещественных чисел. Обычно обозначаются символом $\text{[math]}$ . Предложены Уильямом Гамильтоном в 1843 году.

Ко́мпле́ксные чи́сла — числа вида $\text{[math]}$ где $\text{[math]}$ — вещественные числа, $\text{[math]}$ — мнимая единица, то есть число, для которого выполняется равенство: $\text{[math]}$ Множество комплексных чисел обычно обозначается символом $\text{[math]}$ Вещественные числа можно рассматривать как частный случай комплексных, они имеют вид $\text{[math]}$ Главное свойство $\text{[math]}$ — в нём выполняется основная теорема алгебры, то есть любой многочлен $\text{[math]}$ -й степени имеет $\text{[math]}$ корней. Доказано, что система комплексных чисел логически непротиворечива.

Комплексная функция — основной объект изучения теории функций комплексной переменной, комплекснозначная функция комплексного аргумента: $\text{[math]}$ .

Ко́мпле́ксный ана́лиз, тео́рия фу́нкций ко́мпле́ксного переме́нного — раздел математического анализа, в котором рассматриваются и изучаются функции комплексного аргумента.

Ко́мпле́ксная пло́скость — геометрическое представление множества комплексных чисел $\text{[math]}$ .

Аналитическая функция вещественной переменной — функция, которая совпадает со своим рядом Тейлора в окрестности любой точки области определения.

Гладкая функция, или непрерывно дифференцируемая функция, — функция, имеющая непрерывную производную на всём множестве определения. Очень часто под гладкими функциями подразумевают функции, имеющие непрерывные производные всех порядков.

Голоморфная функция, иногда называемая регулярной функцией — функция комплексного переменного, определённая на открытом подмножестве комплексной плоскости $\text{[math]}$ и комплексно дифференцируемая в каждой точке.

Аналитическое продолжение в комплексном анализе — аналитическая функция, совпадающая с заданной функцией $\text{[math]}$ в её исходной области C и определённая при этом в области D, содержащей C — продолжение функции $\text{[math]}$ , являющееся аналитическим. Аналитическое продолжение всегда единственно.

Вы́чет в комплексном анализе — объект, характеризующий локальные свойства заданной функции или формы.

Интегральная формула Коши — соотношение для голоморфных функций комплексного переменного, связывающее значение функции в точке с её значениями на контуре, окружающем точку.

Однолистная функция — комплексная функция $\text{[math]}$ , голоморфная или мероморфная в области $\text{[math]}$ и являющаяся биективным отображением между множеством $\text{[math]}$ и его образом $\text{[math]}$ .

Субгармонические и супергармонические функции представляют собой особые классы функций, содержащие как частные случаи и класс гармонических функций.

Для аналитических функций справедлив так называемый принцип максимума модуля, который предписывает четкое расположение максимума модуля для аналитической в некоторой ограниченной области функции исключительно на границе этой области. В общем случае для неограниченных областей такое предположение неверно. Однако при наложении на функцию некоторых дополнительных ограничений можно показать, что функция будет ограничена по модулю и в неограниченной области.

Основна́я теоре́ма о вы́четах — мощный инструмент для вычисления интеграла мероморфной функции по замкнутому контуру. Её часто используют также для вычисления вещественных интегралов. Она является обобщением интегральной теоремы Коши и интегральной формулы Коши.

<span class="mw-page-title-main">Нуль функции</span> аргумент, при котором функция принимает значение нуль

Нуль функции в математике — элемент из области определения функции, в котором она принимает нулевое значение. Например, для функции $\text{[math]}$ , заданной формулой

\text{[math]}

Неравенство Лоясевича — неравенство, установленное польским математиком Станисловом Лоясевичем, дающее верхнюю оценку для расстояния от точки произвольного компакта до множества нулевого уровня вещественной аналитической функции многих переменных. Это неравенство находит применения в различных разделах математики, в том числе, в вещественной алгебраической геометрии, в анализе, в теории дифференциальных уравнений .

Филинг-радиус — метрическая характеристика Риманова многообразия.

Вещественно-аналитическая функция — вещественная функция, представимая в окрестности каждой точки степенным рядом. Эквивалентное определение: вещественная функция, равная в окрестности каждой точки области определения своему ряду Тейлора.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.