Присоединённое представление группы Ли

Присоединённое представление группы Ли — линейное представление группы Ли на своей алгебре Ли. Обычно обозначается ${\displaystyle \operatorname {Ad} }$.

Пусть ${\displaystyle G}$ — группа Ли. Касательное пространство ${\displaystyle T_{e}G}$ в единице группы есть её алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Для каждого элемента ${\displaystyle a\in G}$ рассмотрим дифференциал

${\displaystyle \operatorname {Ad} _{a}=d(\operatorname {Int} _{a})_{e}}$

внутреннего автоморфизма

${\displaystyle \operatorname {Int} _{a}:x\mapsto axa^{-1}.}$

Полученное действие ${\displaystyle \operatorname {Ad} \colon G\to \mathrm {GL} ({\mathfrak {g}})}$ называется присоединённым представлением.

• Если ${\displaystyle G\subset GL(V)}$ — линейная группа в пространстве ${\displaystyle V}$, то

  ${\displaystyle \operatorname {Ad} _{a}X=aXa^{-1},}$

Дифференциалом присоединённого представления группы ${\displaystyle G}$ в единице служит присоединённое представление её алгебры Ли.

• Образ группы Ли ${\displaystyle G}$ при присоединённом представлении называется присоединённой группой группы ${\displaystyle G}$ и обозначается ${\displaystyle \operatorname {Ad} G}$.

• Ядро ${\displaystyle \operatorname {Ker} \operatorname {Ad} }$ содержит центр группы ${\displaystyle G}$.
  • Более того, в случае, когда ${\displaystyle G}$ связна и основное поле имеет характеристику ${\displaystyle 0}$, совпадает с центром.
• Связная полупростая группа Ли изоморфна своей присоединённой группе тогда и только тогда, когда её корни порождают группу рациональных характеров максимального тора; центр такой группы тривиален.
• Если основное поле имеет характеристику 0 и ${\displaystyle G}$ связна, то ${\displaystyle \operatorname {Ad} G}$ однозначно определяется алгеброй Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ и называется иногда присоединённой группой, или группой внутренних автоморфизмов, алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.
  • В частности, если ${\displaystyle G}$ полупроста, то ${\displaystyle \operatorname {Ad} G}$ совпадает со связной компонентой единицы в ${\displaystyle \operatorname {Aut} {\mathfrak {g}}}$.

• Коприсоединённое представление

• Винберг Э. Б., Онищик А. Л. Основы теории групп Ли. — М.: ВИНИТИ, 1988. — С. 5—101. — (Итоги науки и техники. Сер. «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления». Т. 20).