Проблема якобиана — проблема о свойствах полиномов нескольких переменных.
Условия
Рассмотрим набор полиномов с комплексными коэффициентами от переменных :
Предположим, что для любого набора система уравнений
имеет единственное решение и существуют такие многочлены
- ,
что каждое . Предполагается, что многочлены не зависят от набора свободных членов . Это эквивалентно тому, что каждый многочлен из однозначно представляется в виде многочлена от (и от Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle g_1, g_2, ... g_N} ). Система (1) задаёт полиномиальное отображение , при котором
- .
Отображение является взаимно однозначным. Кроме того, обратное отображение , переводящее в
также является полиномиальным.
Сопоставим произвольному полиномиальному отображению вида (2) квадратную матрицу (якобиан отображения ) размера , в которой на месте стоит частная производная . Зададим другое полиномиальное отображение и рассмотрим их композицию , матрица Якоби которой равна
- .
Вычисляя определители, получаем, что
- .
В частности, если заданы полиномиальные отображения и , то их композиция является тождественным отображением. Поэтому единичная матрица , тогда при переходе к определителю единица равна произведению многочленов, следовательно, эти многочлены равны константам, в частности,
является ненулевой константой.
Формулировка
Проблема якобиана состоит в решении обратной задачи. Пусть задано полиномиальное отображение вида (2), причем является ненулевой константой. Верно ли, что существует обратное полиномиальное отображение? Можно ли представить каждый многочлен из в виде многочлена от ?
Результаты
До 2022 года проблема была решена для случая, когда и степени не выше 150, а также если любое, но степени всех многочленов не выше 2.[1] Кроме того, для доказательства общего утверждения, достаточно было доказать его для случая, когда каждое является многочленом степени не выше 3[1].
Примечания
- ↑ 1 2 Кострикин, «Введение в алгебру», т.1, стр. 259—260
Литература
- В. А. Артамонов О решённых и открытых проблемах в теории многочленов // Соросовский образовательный журнал, 2001, № 3, с. 110—113;