Проективная группа

Проективная группа — группа преобразований проективного пространства, индуцируемых линейными преобразованиями соответствующего векторного пространства. Её элементы называются проективными преобразованиями — они обобщают проективные преобразования проективной плоскости. С матричной точки зрения проективная группа — это группа всех невырожденных матриц с точностью до скалярных матриц.

Определение

Пусть $V$ — векторное пространство над полем $F$ (или, более обще, над телом $K$ ), а $GL(V)$ — его полная линейная группа, то есть группа всех обратимых линейных преобразований. Эта группа коммутирует с гомотетиями $Z(V)$ пространства $V$ (умножениями на ненулевые константы поля $F$ ), а потому её элементы индуцируют преобразования проективного пространства $\mathbb {P} (V)=V/Z(V)$ (факторпространство по действию группы $Z(V)$ ).

Некоторые из этих индуцированных преобразований действуют на $\mathbb {P} (V)$ тривиально — это в точности элементы группы гомотетий $Z(V)\cong F^{*}$ пространства $V$ . Проективная группа — это факторгруппа по ядру действия:

PGL(V)=GL(V)/Z(V)

Если в пространстве $V$ явным образом выбрать координаты, то есть изоморфизм $V\cong F^{n}$ для натурального $n$ , получится

PGL_{n}(F)=GL_{n}(F)/F^{*}

то есть проективная группа является факторгруппой группы невырожденных матриц по подгруппе ненулевых скалярных матриц.

Обобщения

Если вместо полной линейной группы $\mathbb {G} L(V)$ взять специальную линейную группу $\mathbb {S} L(V)$ , то есть ограничиться линейными преобразованиями с определителем 1, то получится проективная специальная линейная группа $PSL(V)$ , также называемая унимодулярной проективной группой.

Свойства

Если $F_{q}$ — конечное поле из $q$ элементов, то порядок группы равен $|PSL_{n}(F_{q})|=(q-1,n)^{-1}q^{n(n-1)/2}(q^{n}-1)(q^{n-1}-1)\cdots (q^{2}-1)$ ^[1].
При $n\geqslant 2$ группа $PSL_{n}(F)$ проста, за исключением случаев $PSL_{2}(F_{2})$ и $PSL_{2}(F_{3})$ ^[1].

Примечания

↑ ¹ ² Vinberg, E.B. (2001), "Projective group", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

Похожие исследовательские статьи

Группой Ли над полем $\text{[math]}$ называется группа $\text{[math]}$ , снабжённая структурой дифференцируемого (гладкого) многообразия над $\text{[math]}$ , причём отображения $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ , определённые так:

\text{[math]}

\text{[math]}

Аффи́нное преобразование, иногда афинное преобразование — отображение плоскости или пространства в себя, при котором параллельные прямые переходят в параллельные прямые, пересекающиеся — в пересекающиеся, скрещивающиеся — в скрещивающиеся.

Факторгруппа — множество смежных классов группы по её нормальной подгруппе, само являющееся группой с определённой специальным образом групповой операцией.

Ортогональная группа — группа всех линейных преобразований $\text{[math]}$ -мерного векторного пространства $\text{[math]}$ над полем $\text{[math]}$ , сохраняющих фиксированную невырожденную квадратичную форму $\text{[math]}$ на $\text{[math]}$ .

Проективное представление группы $\text{[math]}$ на векторном пространстве $\text{[math]}$ над полем $\text{[math]}$ — это гомоморфизм $\text{[math]}$ в проективную группу

\text{[math]}

Редуктивная группа — алгебраическая группа $\text{[math]}$ , для которой унипотентный радикал её компоненты единицы $\text{[math]}$ является тривиальным. Над незамкнутым полем редуктивность алгебраической группы определяется как редуктивность её над замыканием основного поля.

Симплекти́ческое пространство — это векторное пространство S с заданной на нём симплектической формой $\text{[math]}$ , то есть билинейной кососимметрической невырожденной 2-формой:

\text{[math]}

\text{[math]}

\text{[math]}

Решётка — набор векторов евклидова пространства $\text{[math]}$ , образующий дискретную группу по сложению.

Унитарной группой — подгруппа группы $\text{[math]}$ невырожденных линейных преобразований пространства $\text{[math]}$ состоящая из так называемых унитарных линейных преобразований, то есть преобразований, сохраняющих эрмитово скалярное произведение в пространстве $\text{[math]}$

SL(2,R) или SL₂(R) — это группа вещественных матриц 2 × 2 с единичным определителем:

\text{[math]}

Поверхность Веронезе — алгебраическая поверхность в пятимерном проективном пространстве, которая реализуется как образ вложения Веронезе. Существует также обобщение вложения Веронезе на произвольные размерности проективных пространств. Названа в честь итальянского математика Джузеппе Веронезе.

В математике проективная специальная линейная группа PSL(2, 7) — это конечная простая группа, имеющая важные приложения в алгебре, геометрии и теории чисел. Она является группой автоморфизмов квартики Клейна, а также группой симметрии плоскости Фано. Имея 168 элементов, PSL(2, 7) является второй по величине из самых маленьких неабелевых простых групп.

Проективная прямая — одномерное проективное пространство. Проективная прямая представляет собой множество прямых в 2-мерном линейном пространстве. Точки проективной прямой могут быть заданы с помощью однородных координат $\text{[math]}$ . Как топологическое пространство, проективная прямая представляет собой одноточечную компактификацию аффинной прямой.

Модель Пуанкаре в верхней полуплоскости — это верхняя половина плоскости $\text{[math]}$ , обозначаемая ниже как H, вместе с метрикой, которая делает её моделью двумерной гиперболической геометрии.

Группа Лоренца является группой Ли симметрий пространства-времени в специальной теории относительности. Эта группа может быть реализована как набор матриц, линейных преобразований или унитарных операторов на некотором гильбертовом пространстве. Группа имеет различные представления. В любой релятивистски инвариантной физической теории эти представления как-то должны быть отражены. Сама физика должна быть сделана на их основе. Более того, специальная теория относительности вместе с квантовой механикой являются двумя физическими теориями, которые тщательно проверены и объединение этих двух теорий сводится к изучению бесконечномерных унитарных представлений группы Лоренца. Это имеет как историческую важность в основном течении в теоретической физике, так и связи с более спекулятивными теориями настоящего времени.

Арифметическая группа — это группа, получаемая как целые точки алгебраической группы, например, $\text{[math]}$ Арифметические группы возникают естественным образом при изучении арифметических свойств квадратичных форм и других классических областей теории чисел. Они также являются источником для очень интересных примеров римановых многообразий, а потому представляют интерес для дифференциальной геометрии и топологии. Наконец, эти две области объединяются в теорию автоморфных форм, которая является фундаментальной в современной теории чисел.

Фуксова группа — дискретная подгруппа группы PSL(2,R). Группа $\text{[math]}$ может рассматриваться как группа движений гиперболической плоскости, или конформные отображения единичного диска, или конформные отображения верхней полуплоскости. Соответственно, фуксову группу можно рассматривать как группу, действующую на любом из этих пространств. В других трактовках фуксова группа определяется как группа с конечным числом генераторов, либо как подгруппа $\text{[math]}$ , содержащая сохраняющие ориентацию элементы. Также приемлемо определение фуксовой группы, как клейновой, которая сопряжена с подгруппой группы $\text{[math]}$ .

Линейная алгебраическая группа — это подгруппа группы обратимых $\text{[math]}$ матриц, которые определены полиномиальными уравнениями. Примером является ортогональная группа, определённая отношением $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ является транспонированной матрицей M.

Представление группы Ли — это линейное действие группы Ли на векторном пространстве или, что то же самое, гладкий гомоморфизм группы Ли в группу обратимых операторов на векторном пространстве. Играет важную роль в изучении непрерывной симметрии в математике и теоретической физике. Представления групп Ли изучены довольно хорошо, основным инструментом их изучения является использование соответствующих «инфинитезимальных» представлений алгебр Ли.

Преобразование Фурье на группах — обобщение дискретного преобразования Фурье от циклических к локально компактным абелевым группам или произвольным компактным группам.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.