Проективная прямая

Проективная прямая — одномерное проективное пространство. Проективная прямая представляет собой множество прямых (одномерных подпространств) в 2-мерном линейном пространстве. Точки проективной прямой могут быть заданы с помощью однородных координат $[x_{1}:x_{2}]$ . Как топологическое пространство, проективная прямая представляет собой одноточечную компактификацию аффинной прямой.

Примеры

Вещественная проективная прямая с пучком гладких функций является гладким многообразием. Это многообразие диффеоморфно окружности $\mathbb {R} P^{1}\cong S^{1}$ . Комплексная проективная прямая $\mathbb {C} P^{1}$ — сфера Римана, — как вещественное многообразие, диффеоморфна двумерной сфере $S^{2}$ . Для тела кватернионов проективная прямая, как вещественное многообразие, $\mathbb {H} P^{1}\cong S^{4}$ .

Действие групп на проективной прямой

Для групп $GL_{2}(k),SL_{2}(k)$ и др. может быть определено действие на проективной прямой. Факторизуя по группе скалярных матриц, получаем группы $PGL_{2}(k),PSL_{2}(k)$ , для которых это действие является точным. Для конечного поля $PSL_{2}(k)$ изоморфна некоторой подгруппе конечной симметрической группы^[1].

В алгебраической геометрии

Проективная прямая является важным примером проективного многообразия. Полем функций проективной прямой $P^{1}(K)$ является поле $K(X)$ рациональных функций. Группой автоморфизмов поля $K(X)$ является группа $PGL_{2}(K)$ . Если невырожденная квадратичная кривая содержит хотя бы одну точку, то она бирационально изоморфна проективной прямой.

Примечания

↑ Богопольский О.В. Введение в теорию групп. — 2002.

Литература

Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия — М.: Наука 1986.
Математическая энциклопедия, 1984, том 4, стр.671, статья Проективная прямая.
Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия — М.: Мир, 1981.

Похожие исследовательские статьи

Группой Ли над полем $\text{[math]}$ называется группа $\text{[math]}$ , снабжённая структурой дифференцируемого (гладкого) многообразия над $\text{[math]}$ , причём отображения $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ , определённые так:

\text{[math]}

\text{[math]}

<span class="mw-page-title-main">Проективная плоскость</span>

Проекти́вная пло́скость — двумерное проективное пространство. Важным частным случаем является вещественная проективная плоскость.

Алгебраическая геометрия — раздел математики, который объединяет алгебру и геометрию. Главным предметом изучения классической алгебраической геометрии, а также в широком смысле и современной алгебраической геометрии, являются множества решений систем алгебраических уравнений. Современная алгебраическая геометрия во многом основана на методах общей алгебры для решения задач, возникающих в геометрии.

Проекти́вное простра́нство над полем $\text{[math]}$ — пространство, состоящее из прямых некоторого линейного пространства $\text{[math]}$ над данным полем. Прямые пространства $\text{[math]}$ называются точками проективного пространства. Это определение поддаётся обобщению на произвольное тело $\text{[math]}$ . Для полей $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ , и тела $\text{[math]}$ соответствующее проективное пространство называется вещественным $\text{[math]}$ , комплексным $\text{[math]}$ или кватернионным $\text{[math]}$ соответственно.

Многообра́зие — локально евклидово пространство.

Проективная группа — группа преобразований проективного пространства, индуцируемых линейными преобразованиями соответствующего векторного пространства. Её элементы называются проективными преобразованиями — они обобщают проективные преобразования проективной плоскости. С матричной точки зрения проективная группа — это группа всех невырожденных матриц с точностью до скалярных матриц.

Алгебраическая кривая, или плоская алгебраическая кривая, — это геометрическое место (множество) точек на плоскости (O;x,y), которое определяется как множество нулей многочлена от двух переменных. Степенью (или порядком) n этой кривой называется степень этого многочлена. Алгебраические кривые степеней n = 1, 2, 3, …, 8 кратко называются прямыми, кониками, кубиками, квартиками, пентиками, секстиками, септиками, октиками соответственно. Например, единичная окружность — это алгебраическая кривая степени 2 (коника), так как она задаётся уравнением x² + y² − 1 = 0.

Редуктивная группа — алгебраическая группа $\text{[math]}$ , для которой унипотентный радикал её компоненты единицы $\text{[math]}$ является тривиальным. Над незамкнутым полем редуктивность алгебраической группы определяется как редуктивность её над замыканием основного поля.

Грассмановым многообра́зием или грассманиа́ном линейного пространства $\text{[math]}$ размерности $\text{[math]}$ называется многообразие, состоящее из его $\text{[math]}$ -мерных подпространств. Обозначается $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ . В частности, $\text{[math]}$ — это многообразие прямых в пространстве $\text{[math]}$ , совпадающее с проективным пространством $\text{[math]}$ . Названо в честь Германа Грассмана.

Схе́ма — математическая абстракция, позволяющая связать алгебраическую геометрию, коммутативную алгебру и дифференциальную геометрию и переносить идеи из одной области в другую. В первую очередь понятие схемы позволяет перенести геометрическую интуицию и геометрические конструкции, такие как тензорные поля, расслоения и дифференциалы, в теорию колец. Исторически теория схем возникла с целью обобщения и упрощения классической алгебраической геометрии итальянской школы XIX века, занимавшейся исследованием полиномиальных уравнений.

Алгебраическое многообразие — центральный объект изучения алгебраической геометрии. Классическое определение алгебраического многообразия — множество решений системы алгебраических уравнений над действительными или комплексными числами. Современные определения обобщают его различными способами, но стараются сохранить геометрическую интуицию, соответствующую этому определению.

Точная последовательность Эйлера — это определённая точная последовательность пучков на n-мерном проективном пространстве над кольцом. Она показывает, что кокасательное расслоение проективного пространства стабильно изоморфно (n + 1)-кратной сумме тавтологических расслоений $\text{[math]}$ (см. скручивающий пучок Серра).

Группа Лоренца является группой Ли симметрий пространства-времени в специальной теории относительности. Эта группа может быть реализована как набор матриц, линейных преобразований или унитарных операторов на некотором гильбертовом пространстве. Группа имеет различные представления. В любой релятивистски инвариантной физической теории эти представления как-то должны быть отражены. Сама физика должна быть сделана на их основе. Более того, специальная теория относительности вместе с квантовой механикой являются двумя физическими теориями, которые тщательно проверены и объединение этих двух теорий сводится к изучению бесконечномерных унитарных представлений группы Лоренца. Это имеет как историческую важность в основном течении в теоретической физике, так и связи с более спекулятивными теориями настоящего времени.

Пространство Лобачевского, или гиперболическое пространство размерности $\text{[math]}$ — единственное полное односвязное $\text{[math]}$ -мерное риманово многообразие постоянной отрицательной кривизны, равной $\text{[math]}$ . Обычно обозначается $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ . Двумерное пространство Лобачевского $\text{[math]}$ называется плоскостью Лобачевского.

K3-поверхность — связная односвязная компактная комплексная поверхность, допускающая нигде не вырожденную голоморфную дифференциальную форму степени два. В алгебраической геометрии, где рассматриваются многообразия над полями иными, нежели комплексные числа, K3-поверхностью называется алгебраическая поверхность с тривиальным каноническим расслоением, не допускающая алгебраических 1-форм.

Характеристические классы — это далеко идущее обобщение таких количественных понятий элементарной геометрии, как степень плоской алгебраической кривой или сумма индексов особых точек векторного поля на поверхности. Более подробно они описаны в соответствующей статье. Теория Черна — Вейля позволяет представлять некоторые характеристические классы как выражения от кривизны.

В математике, топологическая K-теория является подразделом алгебраической топологии. В начале своего существования она применялась для изучения векторных расслоений на топологических пространствах с помощью идей, признанных в настоящее время частью (общей) K-теории, введенной Александром Гротендиком. Ранние работы по топологической K-теории принадлежат Майклу Атья и Фридриху Хирцебруху.

Линейная алгебраическая группа — это подгруппа группы обратимых $\text{[math]}$ матриц, которые определены полиномиальными уравнениями. Примером является ортогональная группа, определённая отношением $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ является транспонированной матрицей M.

Клод Лебрю́н — североамериканский геометр, специалист в комплексной и дифференциальной геометрии, в первую очередь четырёхмерных многообразий, а также теории относительности. Профессор Университета штата Нью-Йорк в Стони-Бруке.

Дополнение узла — пространство, получающееся из шара вырезанием цилиндра, заузленного в форме этого узла.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.