Проективный объект

Проективный объект — теоретико-категорное обобщение понятия проективного модуля.

Проективные объекты в абелевых категориях широко используются в гомологической алгебре. Двойственными объектами к проективным являются инъективные объекты.

Определение

Объект $P$ в категории ${\mathcal {C}}$ называется проективным если для произвольного эпиморфизма $e\colon E\twoheadrightarrow X$ и морфизма $f\colon P\to X$ существует морфизм ${\overline {f}}:P\to E$ для которого $e\circ {\overline {f}}=f$ , то есть диаграмма:

коммутативна.

Свойства

В локально малой категории ${\mathcal {C}}$ , объект $P$ является проективным только если функтор
$\operatorname {Hom} (P,-)\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set}$

сохраняет эпиморфизмы.^[1]

Пусть ${\mathcal {C}}$ — локально малая абелева категория. В этом случае объект $P\in {\mathcal {C}}$ является проективным объектом если
$\operatorname {Hom} (P,-)\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Ab}$

является точным функтором, где

\mathbf {Ab}

является категорией абелевых групп.

Копроизведение двух проективных объектов является проективным объектом.^[2]
Ретракт проективного объекта является проективным.^[3]

Примеры

Утверждение о том, что все множества является проективными объектами эквивалентен аксиоме выбора.

Проективными объектами в категории абелевых групп являются свободные абелевы группы.

Пусть $R$ — кольцо с единицей. Рассмотрим (абелеву) категорию ${\mathcal {M}}_{R}$ левых $R$ -модулей. Проективными объектами в ${\mathcal {M}}_{R}$ являются проективные левые R-модули. В частности $R$ является проективным объектом в ${\mathcal {M}}_{R}.$

Примечания

↑ Mac Lane, Saunders. Categories for Working Mathematician (неопр.). — Second. — New York, NY: Springer New York, 1978. — С. 114. — ISBN 1441931236.
↑ Awodey, Steve. Category theory (англ.). — 2nd. — Oxford: Oxford University Press, 2010. — P. 72. — ISBN 9780199237180.
↑ Awodey, Steve. Category theory (англ.). — 2nd. — Oxford: Oxford University Press, 2010. — P. 33. — ISBN 9780199237180.

Похожие исследовательские статьи

Тео́рия катего́рий — раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов.

Функтор — особый тип отображений между категориями. Его можно понимать как отображение, сохраняющее структуру. Функторы между малыми категориями являются морфизмами в категории малых категорий. Совокупность всех категорий не является категорией в обычном смысле, так как совокупность её объектов не является классом. Один из способов преодолеть подобные теоретико-множественные трудности — добавление в ZFC независимой от неё аксиомы о существовании недостижимых кардиналов.

Мономорфи́зм ― морфизм $\text{[math]}$ категории $\text{[math]}$ , такой что из всякого равенства $\text{[math]}$ следует, что $\text{[math]}$ . Часто мономорфизм из $\text{[math]}$ в $\text{[math]}$ обозначают $\text{[math]}$ .

Сопряжённые функторы — пара функторов, состоящих в определённом соотношении между собой. Понятие сопряжённых функторов и сам термин были предложены Даниэлем Каном в 1956 году. Сопряжённые функторы часто встречаются в разных областях математики.

Предаддити́вная категория — обогащённая категория над категорией абелевых групп, то есть такая категория, что для любых её объектов $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ множество $\text{[math]}$ имеет структуру абелевой группы по сложению, при этом композиция морфизмов билинейна:

\text{[math]}

\text{[math]}

Предпоря́док (квазипоря́док) — бинарное отношение на множестве, обладающее свойствами рефлексивности и транзитивности. Обычно это отношение обозначается $\text{[math]}$ , тогда аксиомы предпорядка на множестве $\text{[math]}$ принимают вид:

\text{[math]}

\text{[math]}

Схе́ма — математическая абстракция, позволяющая связать алгебраическую геометрию, коммутативную алгебру и дифференциальную геометрию и переносить идеи из одной области в другую. В первую очередь понятие схемы позволяет перенести геометрическую интуицию и геометрические конструкции, такие как тензорные поля, расслоения и дифференциалы, в теорию колец. Исторически теория схем возникла с целью обобщения и упрощения классической алгебраической геометрии итальянской школы XIX века, занимавшейся исследованием полиномиальных уравнений.

Забывающий функтор — теоретико-категорный функтор, который «забывает» некоторые или все алгебраические структуры и свойства исходной области, то есть переводит области, наделённые дополнительными структурами и свойствами, в кообласти с меньшими ограничениями.

Унивалентный функтор — функтор, который инъективен на каждом множестве морфизмов с фиксированными образом и прообразом. Полный функтор — двойственное понятие — функтор, который сюръективен на каждом множестве морфизмов с фиксированным образом и прообразом.

<span class="mw-page-title-main">Коядро</span>

Коядро — теоретико-категорная конструкция, двойственная к ядру: ядро является подобъектом прообраза, а коядро — факторобъектом области прибытия. Интуитивно, при поиске решения уравнения $\text{[math]}$ коядро определяет число ограничений, которым должен удовлетворять $\text{[math]}$ , чтобы данное уравнение имело решение.

Абелева категория — категория, в которой морфизмы можно складывать, а ядра и коядра существуют и обладают определёнными удобными свойствами. Пример, который стал прототипом абелевой категории — категория абелевых групп. Теория абелевых категорий была разработана Александром Гротендиком для объединения нескольких теорий когомологий. Класс абелевых категорий замкнут относительно нескольких категорных конструкций; например, категория цепных комплексов с элементами из абелевой категории и категория функторов из малой категории в абелеву также являются абелевыми.

Лемма Йонеды (Ёнэды) — результат о функторе Hom; теоретико-категорное обобщение классической теорико-групповой теоремы Кэли. Лемма позволяет рассмотреть вложение произвольной категории в категорию функторов из неё в категорию множеств. Является важным инструментом, позволившим получить множество результатов в алгебраической геометрии и теории представлений.

Пространство модулей в алгебраической геометрии — это геометрическое пространство, точки которого соответствуют некоторому классу алгебро-геометрических объектов $\text{[math]}$ , факторизованному по некоторому отношению эквивалентности $\text{[math]}$ . Такие пространства часто возникают как решения классификационных задач: если множество интересующих нас объектов, может быть снабжено структурой геометрического пространства, то можно параметризовать данные объекты, введя координаты на этом пространстве. В данном контексте термин «модули» синонимичен термину «параметры»: пространства модулей первоначально понимались как пространства параметров, а не пространства объектов.

Инъективный объект — теоретико-категорное обобщение понятия инъективного модуля. Двойственное понятие — проективный объект.

Функторы Ext — производные функторы функтора Hom. Они впервые появились в гомологической алгебре, где они играют центральную роль, например, в теореме об универсальных коэффициентах, но теперь они используются во многих разных областях математики.

У определённых функторов можно взять производные функторы чтобы получить другие функторы, тесно связанные с исходными. Данная операция является довольно абстрактной, но объединяет большое количество конструкций в математике.

Спектральная последовательность Гротендика — это спектральная последовательность, которая вычисляет производные функторы композиции функторов $\text{[math]}$ по производным функторам F и G.

Производная категория D(A) абелевой категории A представляет собой конструкцию из гомологической алгебры, введённую для уточнения и в определённом смысле упрощения теории производных функторов, определённых на A. Конструкция определяется таким образом, что объектами D(A) становятся цепные комплексы объектов из A, причем два таких комплекса считаются изоморфными, когда существует гомоморфизм между этими комплексами, индуцирующий изоморфизм гомологий этих комплексов. Затем для цепных комплексов можно определить производные функторы, уточняя понятие гиперкогомологий. Определения приводят к существенному упрощению формул, в противном случае описываемых сложными спектральными последовательностями.

Триангулированная категория — это категория с «функтором сдвига» и с классом «выделенных треугольников», удовлетворяющими определённым аксиомам. Важными примерами триангулированных категорий являются производные категории абелевых категорий, а также стабильные гомотопические категории. Выделенные треугольники обобщают короткие точные последовательности в абелевых категориях, а также гомотопические последовательности расслоения или корасслоения в топологии.

t-структура — понятие, аксиоматизирующее свойства абелевых подкатегорий производной категории. t-структура на триангулированной категории $\text{[math]}$ состоит из двух подкатегорий $\text{[math]}$ в $\text{[math]}$ , обобщающих свойства комплексов с зануляющимися когомологиями в положительных, соответственно, в отрицательных степенях. На одной и той же категории могут существовать различные t-структуры, и взаимосвязи между этими структурами используются в алгебре и геометрии. Понятие t-структуры возникло в работах Бейлинсона, Бернштейна, Делиня и Габбера по превратным пучкам.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.