Проективный предел

Проективный предел (обратный предел) — используемая в различных разделах математики конструкция, которая позволяет построить новый объект ${\displaystyle X}$ по семейству (индексированному направленным множеством) однотипных объектов ${\displaystyle X_{i}}$ и набору отображений ${\displaystyle f_{ij}:X_{j}\to X_{i}}$, ${\displaystyle i\leqslant j}$. Один из видов пределов в теории категорий.

Для проективного предела обычно используются следующие обозначения:

${\displaystyle X=\varprojlim X_{i}}$,

${\displaystyle X=\projlim X_{i}}$.

Проективный предел можно определить в произвольной категории. Двойственное понятие — прямой предел.

Проективные пределы появляются в работах Александрова. ^[1]

Для алгебраических систем проективный предел определяется следующим образом. Пусть ${\displaystyle I}$ — направленное множество ${\displaystyle \leqslant }$ (например, множество целых чисел), и пусть каждому элементу ${\displaystyle i\in I}$ сопоставлена алгебраическая система ${\displaystyle X_{i}}$ из какого-либо фиксированного класса (например, абелевых групп, модулей над заданным кольцом), а каждой паре ${\displaystyle (i,\;j)}$, такой что ${\displaystyle i,\;j\in I}$, ${\displaystyle i\leqslant j}$, сопоставлен гомоморфизм ${\displaystyle f_{ij}:X_{j}\to X_{i}}$, причём ${\displaystyle f_{ii}}$ — тождественные отображения для любого ${\displaystyle i\in I}$ и ${\displaystyle f_{ik}=f_{ij}\circ f_{jk}}$ для любых ${\displaystyle i\leqslant j\leqslant k}$ из ${\displaystyle I}$. Тогда множество-носитель проективного предела направленного семейства — это подмножество ${\displaystyle X}$ прямого произведения ${\displaystyle X_{i}}$, для элементов которого каждая компонента эквивалентна компонентам с меньшими индексами:

${\displaystyle \varprojlim X_{i}={\biggl \{}(x_{i})\in \prod _{i\in I}X_{i}\;{\bigg |}\;x_{i}=f_{ij}(x_{j})\ \forall i\leqslant j{\biggr \}}.}$

Существуют канонические проекции ${\displaystyle \pi _{i}\colon X\to X_{i}}$, выбирающие ${\displaystyle i}$-ю компоненту прямого произведения для каждого ${\displaystyle i\in I}$. Эти проекции должны являться гомоморфизмами, исходя из этого можно восстановить добавленную алгебраическую структуру на проективном пределе.

В произвольной категории проективный предел можно описать при помощи его универсального свойства. Пусть ${\displaystyle (X_{i},f_{ij})}$ — семейство объектов и морфизмов категории C, удовлетворяющее тем же требованиям, что и в предыдущем пункте. Тогда ${\displaystyle X}$ называется проективным пределом системы ${\displaystyle (X_{i},f_{ij})}$, или ${\displaystyle X=\varprojlim X_{i}}$, если выполнены следующие условия:

1. существует такое семейство отображений ${\displaystyle \pi _{i}:X\to X_{i}}$, что ${\displaystyle \pi _{i}=f_{ij}\circ \pi _{j}}$ для любых ${\displaystyle i\leqslant j}$;
2. для любого семейства отображений ${\displaystyle \psi _{i}:Y\to X_{i}}$, произвольного объекта ${\displaystyle Y}$, для которого выполнены равенства ${\displaystyle \psi _{i}=f_{ij}\circ \psi _{j}}$ для любых ${\displaystyle i\leqslant j}$, существует единственное отображение ${\displaystyle u:Y\to X}$, что ${\displaystyle \psi _{i}=\pi _{i}\circ u}$, для всех ${\displaystyle i\in I}$.

Более общо, проективный предел — это предел в категорном смысле системы ${\displaystyle (X_{i},f_{ij})}$.

• Целые ${\displaystyle p}$-адические числа являются проективным пределом последовательности ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p^{n}}}$ с естественными отображениями вида «взятие остатка» ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p^{n}}\to \mathbb {Z} _{p^{m}}}$ при ${\displaystyle n\geqslant m}$.
• Кольцо ${\displaystyle \textstyle R[[t]]}$ формальных степенных рядов над коммутативным кольцом ${\displaystyle R}$ — проективный предел колец ${\displaystyle \textstyle R[t]/t^{n}R[t]}$, индексированных натуральными числами, с естественными проекциями ${\displaystyle \textstyle R[t]/t^{n+j}R[t]\to \textstyle R[t]/t^{n}R[t]}$.
• Канторово множество гомеоморфно проективному пределу произведений двуточечных множеств (с дискретной топологией) с проекциями на первые несколько координат в качестве отображений.
• Проконечные группы определяются как проективные пределы конечных (дискретных) групп.
• В категории топологических пространств проективные пределы задаются инициальной топологией^[англ.] на соответствующем множестве-носителе.

• Маклейн С. Глава 3. Универсальные конструкции и пределы // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 68—94. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.

• Проективный предел — статья из Математической энциклопедии. М. Ш. Цаленко
• Jan-Erik Roos. Derived functors of inverse limits revisited // J. London Math. Soc.. — 2006. — Т. 73, № 1. — С. 65—83. — doi:10.1112/S0024610705022416.