Проектор (математика)

Перейти к навигацииПерейти к поиску
На этом рисунке преобразование является ортогональной проекцией на прямую .

В линейной алгебре и функциональном анализе линейный оператор , действующий в линейном пространстве, называется прое́ктором (а также опера́тором проеци́рования и проекцио́нным опера́тором), если . Такой оператор называют идемпотентным.

Несмотря на свою абстрактность, это определение обобщает идею построения геометрической проекции.

В качестве определения можно использовать следующее свойство проектора: линейный оператор является проектором тогда и только тогда, когда существуют такие подпространства и пространства , что раскладывается в их прямую сумму, и при этом для любой пары элементов имеем . Подпространства и — соответственно образ и ядро проектора , и обозначаются и .

В общем случае, разложение линейного пространства в прямую сумму не единственно. Поэтому, для подпространства пространства , вообще говоря, существует много проекторов, образ или ядро которых совпадает с .

Свойства проекционных операторов

  • Пусть — тождественный оператор. Если — проектор, то тоже проектор, причём и .
  • В конечномерном нормированном пространстве все проекционные операторы непрерывны.
  • Для банахова же пространства проекционный оператор будет непрерывным, если его образ замкнут, при этом ядро проектора тоже окажется замкнутым. Таким образом, непрерывный проектор задаёт разложение пространства в прямую сумму замкнутых подпространств: .
  • Собственными значениями проектора могут быть только 0 и 1. Соответствующими собственными подпространствами проектора будут его ядро и образ.

Комбинации проекторов

Пусть и — проекторы, заданные на векторном пространстве , и проецирующие на подпространства и соответственно. Тогда

  • — проектор на подпространстве , в том и только том случае, когда .
  • является проектором тогда и только тогда, когда . проецирует на подпространство .
  • Если , то  — проектор на подпространство .

Примеры

  • Ортогональная проекция (см. ниже) точек пространства на плоскость задаётся матрицей

Действует на точки она следующим образом:

Преобразование T является косоугольной проекцией вдоль k на прямую m. U=m и V=k.
  • Простейший неортогональный проектор осуществляет косоугольную проекцию точек плоскости на прямую. Он задаётся матрицей:

Легко показать, что это действительно проектор:

Проекция, задаваемая , ортогональна, тогда и только тогда, когда .

Ортогональный проектор

Если пространство гильбертово, то есть обладает скалярным произведением (а значит и понятием ортогональности), то можно ввести понятие ортогонального проектора.

Ортогональный проектор — это частный случай проектора, когда выше упомянутые подпространства и ортогональны друг другу, иными словами, когда , или , или . В этом случае проекция элемента является ближайшим к нему элементом пространства .

Литература

  • Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
  • Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. — М.: Физматгиз, 1963. — 264 с.