Произведение мер

Произведе́ние ме́р в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — формальный способ построить меру на декартовом произведении двух пространств с мерами.

Пусть ${\displaystyle (X_{i},\;{\mathcal {F}}_{i},\;\mu _{i}),\;i=1,\;2}$ — два пространства с мерами. Тогда ${\displaystyle X_{1}\times X_{2}}$ — декартово произведение множеств ${\displaystyle X_{1}}$ и ${\displaystyle X_{2}}$.

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2}}$ является семейством подмножеств ${\displaystyle X_{1}\times X_{2}}$. Оно, вообще говоря, не замкнуто относительно счётных объединений, и следовательно не является ${\displaystyle \sigma }$-алгеброй. Введём обозначение

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2}=\sigma ({\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2})}$

— минимальная ${\displaystyle \sigma }$-алгебра, содержащая ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2}}$. Тогда ${\displaystyle (X_{1}\times X_{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2})}$ — измеримое пространство. Определим на нём меру ${\displaystyle \mu _{1}\otimes \mu _{2}\colon {\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2}\to \mathbb {R} }$ следующим образом:

${\displaystyle \mu _{1}\otimes \mu _{2}(A)=\mu _{1}(A_{1})\cdot \mu _{2}(A_{2}),\quad \forall A=A_{1}\times A_{2}\in {\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2}.}$

Тогда ${\displaystyle \mu _{1}\otimes \mu _{2}}$ продолжается единственным образом с ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2}}$ на ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2}}$:

${\displaystyle \mu _{1}\otimes \mu _{2}(A)=\int \limits _{X_{2}}\mu _{1}(A_{x_{2}})\,\mu _{2}(dx_{2}),\quad A\in {\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2}}$

или

${\displaystyle \mu _{1}\otimes \mu _{2}(A)=\int \limits _{X_{1}}\mu _{2}(A_{x_{1}})\,\mu _{1}(dx_{1}),}$

где

${\displaystyle A_{x_{2}}=\{x_{1}\in X_{1}\mid (x_{1},\;x_{2})\in A)\}}$ — сечение ${\displaystyle A}$ вдоль ${\displaystyle x_{2}\in X_{2}}$, а

${\displaystyle A_{x_{1}}=\{x_{2}\in X_{2}\mid (x_{1},\;x_{2})\in A)\}}$ — сечение ${\displaystyle A}$ вдоль ${\displaystyle x_{1}\in X_{1}}$.

Получившаяся мера ${\displaystyle \mu _{1}\otimes \mu _{2}}$ называется произведением мер ${\displaystyle \mu _{1}}$ и ${\displaystyle \mu _{2}}$. Пространство с мерой ${\displaystyle (X_{1}\times X_{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},\;\mu _{1}\otimes \mu _{2})}$ называется (прямым) произведением исходных пространств.

• Если ${\displaystyle (\Omega _{i},\;{\mathcal {F}}_{i},\;\mathbb {P} _{i}),\;i=1,\;2}$ — два вероятностных пространства, то ${\displaystyle (\Omega _{1}\times \Omega _{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},\;\mathbb {P} _{1}\otimes \mathbb {P} _{2})}$ называется их произведением.
• Если ${\displaystyle X,\;Y\colon \Omega \to \mathbb {R} }$ — случайные величины, то ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X},\;\mathbb {P} ^{Y}}$ — распределения на ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ соответственно, а ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X,\;Y}}$ — распределение на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ случайного вектора ${\displaystyle (X,\;Y)^{\top }}$. Если ${\displaystyle X,\;Y}$ — независимы, то

${\displaystyle \mathbb {P} ^{X,\;Y}=\mathbb {P} ^{X}\otimes \mathbb {P} ^{Y}.}$

Мера Лебега ${\displaystyle m_{n}}$ на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ может быть получена как произведение ${\displaystyle n}$ одномерных мер Лебега ${\displaystyle m_{1}}$ на ${\displaystyle \mathbb {R} }$:

${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})=\bigotimes \limits _{i=1}^{n}{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),}$

где ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}$ обозначает борелевскую ${\displaystyle \sigma }$-алгебру на пространстве ${\displaystyle X}$, и

${\displaystyle m_{n}=\bigotimes \limits _{i=1}^{n}m_{1}.}$

• Теорема Тонелли — Фубини.