Производная обратной функции

Пусть $y=f(x)$ — функция от аргумента $x$ в некотором интервале $(a,b)$ . Если в уравнении $y=f(x)$ $y$ считать аргументом, а $x$ — функцией, то возникает новая функция $x=\phi (y),$ где $f[\phi (y)]\equiv y,$ — функция, обратная данной.

Теорема (о дифференцировании обратной функции)

Для дифференцируемой функции $y(x)$ с производной $y'_{x}(x)$ , отличной от нуля, производная $x'_{y}(y)$ обратной функции $x(y)$ равна обратной величине производной данной функции в точке $x(y)$ , то есть

x'_{y}(y)={\frac {1}{y'_{x}(x(y))}}

^[1]

Доказательство

Пусть $y=f(x)$ — дифференцируемая функция, $y'_{x}=f'(x)\neq 0$ .
Пусть $\Delta y\neq 0$ — приращение независимой переменной $y$ и $\Delta x$ — соответствующее приращение обратной функции $x=\phi (y)$ .

Напишем тождество

{\frac {\Delta x}{\Delta y}}=1:{\frac {\Delta y}{\Delta x}}

Переходя в этом равенстве к пределу при $\Delta y\to 0$ , которое влечет за собой стремление $\Delta x$ к нулю ( $\Delta x\to 0$ ), получим:

\lim _{\Delta y\to 0}{\frac {\Delta x}{\Delta y}}=1:\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}\Leftrightarrow x'_{y}={\frac {1}{y'_{x}}}

, где

x'_{y}

— производная обратной функции.

Замечание

Если пользоваться обозначениями Лейбница, то выше доказанная формула примет вид

{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\frac {dy}{dx}}}

Примеры

$y=\arcsin {x}\Rightarrow x=\sin {y},$

y'_{x}=(\arcsin {x})'={\frac {1}{x'_{y}}}={\frac {1}{(\sin {y})'}}={\frac {1}{\cos {y}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}{y}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}{(\arcsin {x})}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.

$y=\ln {x}\Rightarrow x=e^{y},$

y'_{x}=(\ln {x})'={\frac {1}{x'_{y}}}={\frac {1}{(e^{y})'}}={\frac {1}{e^{y}}}={\frac {1}{x}}.

См. также

Примечания

↑ Здесь и далее нижний индекс обозначает аргумент, по которому производится дифференцирование.

Литература

В. А. Кудрявцев, Б. П. Демидович «Краткий курс высшей математики», ISBN 5-02-013927-0

Похожие исследовательские статьи

<span class="mw-page-title-main">Показательная функция</span> математическая функция a^x

Показательная функция — математическая функция $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ называется основанием степени, а $\text{[math]}$ — показателем степени.

В вещественном случае основание степени $\text{[math]}$ — некоторое неотрицательное вещественное число, а аргументом функции является вещественный показатель степени.
В теории комплексных функций рассматривается более общий случай, когда аргументом и показателем степени может быть произвольное комплексное число.
В самом общем виде — $\text{[math]}$ , введена Лейбницем в 1695 г.

Произво́дная функции — понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой.

<span class="mw-page-title-main">Формула конечных приращений</span>

Формула конечных приращений, или теорема Лагра́нжа о среднем значении, утверждает, что если функция $\text{[math]}$ непрерывна на отрезке $\text{[math]}$ и дифференцируема в интервале $\text{[math]}$ , то найдётся такая точка $\text{[math]}$ , что

\text{[math]}

Дифференци́руемая фу́нкция — это функция, у которой существует дифференциал. Дифференцируемая на некотором множестве функция — это функция, дифференцируемая в каждой точке данного множества. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет значительное число приложений как в самой математике, так и в других естественных науках.

Опера́тор на́бла — векторный дифференциальный оператор, компоненты которого являются частными производными по координатам. Обозначается символом ∇ (набла).

Де́льта-фу́нкция — обобщённая функция, которая позволяет записать точечное воздействие, а также пространственную плотность физических величин, сосредоточенных или приложенных в одной точке.

Вариацио́нное исчисле́ние — раздел анализа, в котором изучаются вариации функционалов. Наиболее типичная задача — найти функцию, на которой заданный функционал достигает экстремального значения.

Производная — фундаментальное математическое понятие, используемое в различных вариациях (обобщениях) во многих разделах математики. Это базовая конструкция дифференциального исчисления, допускающая много вариантов обобщений, применяемых в математическом анализе, дифференциальной топологии и геометрии, алгебре.

Вычисление производной — важнейшая операция в дифференциальном исчислении. Эта статья содержит список формул для нахождения производных от некоторых функций.

<span class="mw-page-title-main">Условия Коши — Римана</span>

Условия Коши — Римана, называемые также условиями Даламбера — Эйлера, — соотношения, связывающие вещественную $\text{[math]}$ и мнимую $\text{[math]}$ части всякой дифференцируемой функции комплексного переменного $\text{[math]}$ .

Фу́нкция Гри́на — функция, используемая для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями . Названа в честь английского математика Джорджа Грина, который первым развил соответствующую теорию в 1830-е годы.

В математике и теоретической физике функциональная производная является обобщением производной по направлению. Разница заключается в том, что для последней дифференцирование производится в направлении какого-нибудь вектора, а для первой речь идёт о функции. Оба эти понятия можно рассматривать как обобщение обычного дифференциального исчисления.

Элемента́рные фу́нкции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций:

степенная функция с любым действительным показателем;
показательная и логарифмическая функции;
тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

Неопределённый интегра́л для функции $\text{[math]}$ — это совокупность всех первообразных данной функции.

Эллипти́ческий интегра́л — некоторая функция $\text{[math]}$ над полем действительных или комплексных чисел, которая может быть формально представлена в следующем виде:

\text{[math]}

Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:

арксинус
арккосинус
арктангенс
арккотангенс
арксеканс
арккосеканс

Пропагатор в квантовой механике и квантовой теории поля (КТП) — функция, характеризующая распространение релятивистского поля от одного акта взаимодействия до другого. Эта функция определяет амплитуду вероятности перемещения частицы из одного места пространства в другое за заданный промежуток времени или перемещения частицы с определённой энергией и импульсом. Для расчёта частоты столкновений в КТП используются виртуальные частицы, представленные в диаграммах Фейнмана пропагаторами, вносят свой вклад в вероятность рассеяния, описываемого соответствующей диаграммой. Их также можно рассматривать как оператор, обратный волновому оператору, соответствующему частице, и поэтому их часто называют (причинными) функциями Грина.

Смешанные частные производные одной и той же функции, отличающиеся лишь порядком (очерёдностью) дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности. Такое свойство называется равенством смешанных производных.

Нотация Лейбница — система математических обозначений, разработанная Лейбницем для анализа бесконечно малых и широко используемая в математическом анализе. Основные символы — $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ для представления бесконечно малого приращения $\text{[math]}$ и функции $\text{[math]}$ от переменной $\text{[math]}$ соответственно, а также $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ для конечных приращений $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ соответственно.

Дифференцирование тригонометрических функций — математический процесс нахождения производной тригонометрической функции или скорости её изменения по отношению к переменной. Например, производная функции синуса записывается как sin′(a) = cos(a), что означает, что скорость изменения sin(x) под определённым углом x = a задаётся косинусом этого угла.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.