А́лгебра — раздел математики, который можно нестрого охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики; в этом разделе числа и другие математические объекты обозначаются буквами и другими символами, что позволяет записывать и исследовать их свойства в самом общем виде. Слово «алгебра» также употребляется в общей алгебре в названиях различных алгебраических систем. В более широком смысле под «алгеброй» понимают раздел математики, посвящённый изучению операций над элементами множеств произвольной природы, обобщающий обычные операции сложения и умножения чисел.
Кольцо́ в общей алгебре — алгебраическая структура, в которой определены операция обратимого сложения и операция умножения, по свойствам похожие на соответствующие операции над числами. Простейшими примерами колец являются совокупности чисел, совокупности числовых функций, определённых на заданном множестве. Во всех случаях имеется множество, похожее на совокупности чисел в том смысле, что его элементы можно складывать и умножать, причём эти операции ведут себя естественным образом.
Область целостности — понятие коммутативной алгебры: ассоциативное коммутативное кольцо без делителей нуля.
По́ле в общей алгебре — множество, для элементов которого определены операции сложения, взятия противоположного значения, умножения и деления, причём свойства этих операций близки к свойствам обычных числовых операций. Простейшим полем является поле рациональных чисел (дробей). Элементы поля не обязательно являются числами, поэтому, несмотря на то, что названия операций поля взяты из арифметики, определения операций могут быть далеки от арифметических.
Составно́е число́ — натуральное число, имеющее делители, отличные от единицы и самого себя. Каждое составное число является произведением двух или более натуральных чисел, бо́льших единицы. Все натуральные числа делятся на три непересекающиеся категории: простые, составные и единица.
Идеал — одно из основных понятий общей алгебры. Наибольшее значение идеалы имеют в теории колец, но также определяются и для полугрупп, алгебр и некоторых других алгебраических структур. Название «идеал» ведёт своё происхождение от «идеальных чисел», которые были введены в 1847 году немецким математиком Э. Э. Куммером. Простейшим примером идеала может служить подкольцо чётных чисел в кольце целых чисел. Идеалы дают удобный язык для обобщения результатов теории чисел на общие кольца.
Алгебраическая система в универсальной алгебре — непустое множество 
(носитель) с заданным на нём набором операций и отношений (сигнатурой). Алгебраическая система с пустым множеством отношений называется алгеброй, а система с пустым множеством операций — моделью.
Лемма Евклида — классический результат элементарной теории чисел. Она сформулирована как предложение 30 в книге VII «Начал» Евклида и является ключевой для доказательства основной теоремы арифметики. Современная формулировка:
Если произведение нескольких сомножителей делится на простое число 
, то по крайней мере один из сомножителей делится на .
Неприводимый многочлен — многочлен, неразложимый на нетривиальные многочлены. Неприводимые многочлены являются неприводимыми элементами кольца многочленов.
Взаимно простые числа — целые числа, не имеющие никаких общих делителей, кроме ±1. Равносильное определение: целые числа взаимно просты, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1.
Га́уссовы це́лые чи́сла — это комплексные числа, у которых как вещественная, так и мнимая часть — целые числа.
Неприводи́мый элеме́нт — одно из основных понятий теории колец.
Факториа́льное кольцо́ — область целостности, в которой каждый ненулевой элемент x либо обратим, либо однозначно представляется в виде произведения неприводимых элементов x = p1 ⋯ pn (n ≥ 1), с точностью до перестановки сомножителей и умножения на обратимый элемент (аналогично разложению целого числа на простые). Факториальные кольца часто называются гауссовыми в честь Гаусса.
В математике факториза́ция — это декомпозиция объекта (например, числа, полинома или матрицы) в произведение других объектов, или факторов, которые, будучи перемноженными, дают исходный объект. Например, число 15 факторизуется на простые числа 3 и 5, а полином x2 − 4 факторизуется на (x − 2)(x + 2). В результате факторизации во всех случаях получается произведение более простых объектов, чем исходный.
В алгебраической геометрии дивизоры являются обобщением подмногообразий некоторого алгебраического многообразия коразмерности 1. Существуют два различных таких обобщения — дивизоры Вейля и дивизоры Картье, эти понятия эквивалентны в случае многообразий без особенностей.
Ле́мма Га́усса — утверждение про свойства многочленов над факториальными кольцами, которое впервые было доказано для многочленов над кольцом целых чисел. Широко применяется в теории колец и полей, в частности, при доказательстве факториальности кольца многочленов над факториальным кольцом и теоремы Люрота.
Первичный идеал является обобщением понятия простого числа в кольце целых чисел на произвольные (некоммутативные) кольца.
