Пространство Адамара
Пространства Адамара (или полное CAT(0) пространство с внутренней метрикой) — нелинейное обобщение гильбертовых пространств, частный случай пространства Александрова с кривизной ограниченной сверху.
Пространства названы в честь Жака Адамара.
Определение
Пространство Адамара — непустое полное метрическое пространство, где для любых двух точек x и y найдётся точка m такая, что неравенство
выполняется для любой точки z.
Замечания
- Заметим, что точка лежит ровно посередине и , то есть
- .
- Это можно увидеть, предположив в неравенстве выше.
- В гильбертовом пространстве неравенство выше превращается в равенство (с ).
- Пространства Адамара можно определить как полные CAT(0) пространства.
Свойства
- Теорема Решетняка о склеивании утверждает в частности, что пространство, полученное склейкой двух пространств Адамара по изометричным выпуклым множествам, также является пространством Адамара.
- Нормированное пространство является пространством Адамара тогда и только тогда, когда оно является гильбертовым.
- В пространстве Адамара, любые две точки можно соединить с помощью единственной геодезической.
- В частности, пространства Адамара стягиваемы.
- Всякое ограниченное подмножество пространства Адамара содержится в единственном замкнутом шаре с минимальным радиусом. Центр этого шара называется центром множества.
- Локально выпуклое замкнутое множество в пространстве Адамара является глобально выпуклым.
- По теореме Картана — Адамара, пространство является пространством Адамара, если оно односвязно и CAT(0) неравенство выполняется локально, то есть любая точка допускает замкнутую окрестность, являющуюся пространством Адамара.
Примеры
- Гильбертово пространство
- Пространство Лобачевского
- Деревья с полной внутренней метрикой
- Полные односвязные римановы многообразия с неположительной секционной кривизной
Вариации и обобщения
- CAT(κ) пространство
Литература
- Д. Ю. Бураго, Ю. Д. Бураго, С. В. Иванов. Курс метрической геометрии. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — 512 с. — ISBN 5-93972-300-4.