Пространство Бервальда — Моора

Пространство Бервальда — Моора — дифференцируемое многообразие размерности $n\geqslant 2$ с метрикой, определённой на касательном пространстве в каждой точке с координатами $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ формулой:

ds=(dx_{1}\times \cdots \times dx_{n})^{\frac {1}{n}}

В случае $n=2$ метрика Бервальда — Моора совпадает (с точностью до линейной замены координат) с метрикой псевдоевклидовой плоскости, однако при $n>2$ она не является ни псевдоевклидовой метрикой, ни классической финслеровой метрикой (в последнем случае не выполнено условие положительной определённости). Несмотря на это, метрику Бервальда — Моора часто также называют финслеровой^[1], но иногда — псевдофинслеровой^[2].

Впервые такая метрика была рассмотрена Людвигом Бервальдом в 1927 году в письме Леви-Чивите^[3] и несколько позже — венгерским математиком Артуром Моором^[вд]^[4].

В 2010-е годы предпринимались попытки создания физической теории, альтернативной классической релятивистской физике, в которой вместо пространства Минковского используется четырёхмерное пространство Бервальда — Моора^[5].

Примечания

↑ Х. Рунд. Дифференциальная геометрия финслеровых пространств, — М.: «Наука», 1981, стр. 406.
↑ A. Bejancu, H. R. Farran. Geometry of Pseudo-Finsler Submanifolds, — Kluwer, Dordrecht, 2000.
↑ Ludwig Berwald. Sui differenziali secondi covarianti // Atti Accad. Lincei Rend.. — 1927. — Т. 6, № 5. — С. 763—768.
↑ Х. Рунд. Дифференциальная геометрия финслеровых пространств. — М.: «Наука», 1981, стр. 414
↑ Д. Г. Павлов. Анизотропия реликтового излучения в пространстве Бервальда-Моора (неопр.). Дата обращения: 24 февраля 2015. Архивировано 24 февраля 2015 года.

Литература

Г. С. Асанов. Финслерово пространство с алгебраической метрикой, определяемой полем реперов. — Итоги науки и техн. Сер. Пробл. геом., 8, ВИНИТИ, М., 1977, 67-87.
Х. Рунд. Дифференциальная геометрия финслеровых пространств, — М.: «Наука», 1981.
Matsumoto, Makoto; Shimada, Hideo. On Finsler spaces with 1-form metric. II. Berwald-Moór’s metric $L=(y^{1}y^{2}\cdots y^{n})^{1/n}$ . — Tensor (N.S.) 32 (1978), no. 3, 275—278.

Похожие исследовательские статьи

Евкли́дово простра́нство в изначальном смысле — это пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность, равную 3, то есть является трёхмерным.

Риманово многообразие, или риманово пространство (M, g), — это (вещественное) гладкое многообразие M, в котором каждое касательное пространство снабжено скалярным произведением g — метрическим тензором, меняющимся от точки к точке гладким образом. Другими словами, риманово многообразие — это дифференцируемое многообразие, в котором касательное пространство в каждой точке является конечномерным евклидовым пространством.

Дифференциа́льная фо́рма порядка $\text{[math]}$ , или $\text{[math]}$ -форма, — кососимметрическое тензорное поле типа $\text{[math]}$ на многообразии.

Фазовое пространство в математике и физике — пространство, на котором представлено множество всех состояний системы так, что каждому возможному состоянию системы соответствует точка фазового пространства.

Метри́ческий те́нзор, или ме́трика, — симметричное тензорное поле ранга (0,2) на гладком многообразии, посредством которого задаётся скалярное произведение векторов в касательном пространстве. Иначе говоря, метрический тензор задаёт билинейную форму на касательном пространстве к этой точке, обладающую свойствами скалярного произведения и гладко зависящую от точки.

Длина́ криво́й — числовая характеристика протяжённости этой кривой. Исторически вычисление длины кривой называлось спрямлением кривой.

Неевкли́дова геоме́трия — в буквальном понимании — любая геометрическая система, которая отличается от геометрии Евклида; однако традиционно термин «неевклидова геометрия» применяется в более узком смысле и относится только к двум геометрическим системам: геометрии Лобачевского и сферической геометрии.

Псе́вдоевкли́дово простра́нство — конечномерное вещественное векторное или аффинное пространство с невырожденным индефинитным скалярным произведением, которое называют также индефинитной метрикой. Индефинитная метрика не является метрикой в смысле определения метрического пространства, а представляет собой частный случай метрического тензора.

Фи́нслерова геометрия — одно из обобщений римановой геометрии. В финслеровой геометрии рассматриваются многообразия с финслеровой метрикой; то есть выбором нормы на каждом касательном пространстве, которая гладко меняется от точки к точке.

Полугеодезические координаты или геодезические нормальные координаты ― координаты $\text{[math]}$ в $\text{[math]}$ -мерном римановом многообразии, характеризующиеся тем, что координатные линии, соответствующие $\text{[math]}$ , являются геодезическими, на которых $\text{[math]}$ играет роль натурального параметра, а координатные поверхности $\text{[math]}$ ― ортогональны этим геодезическим.

В линейной алгебре ковариантный вектор на векторном пространстве — это то же самое, что и линейная форма на этом пространстве.

Ме́трика Ло́ренца — псевдоевклидова метрика пространства Минковского, естественно возникающая в специальной теории относительности, и в качестве тривиального частного случая — в общей теории относительности.

Нормальная форма дифференциальных уравнений есть наипростейшая эквивалентная форма исходных уравнений. Нормальная форма получается с помощью специальных замен зависимых и независимых переменных задачи с целью максимального упрощения структуры уравнений. В математике эти замены переменных связаны с инфинитезимальными преобразованиями групп Ли. В физике вопросы, связанные с нормальной формой, получили отражение в теореме Эмми Нётер.

Ковариа́нтность и контравариа́нтность — используемые в математике и в физике понятия, характеризующие то, как тензоры изменяются при преобразованиях базисов в соответствующих пространствах или многообразиях. Контравариантными называют «обычные» компоненты, которые при смене базиса пространства изменяются с помощью преобразования, обратного преобразованию базиса. Ковариантными — те, которые изменяются так же, как и базис.

Опера́тор Лапла́са — Бельтра́ми — дифференциальный оператор второго порядка, действующий в пространстве гладких функций на римановом многообразии $\text{[math]}$ .

Пфа́ффово уравнение — уравнение вида $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — дифференциальная 1-форма на касательном расслоении многообразия $\text{[math]}$ размерности $\text{[math]}$ . Названы в честь немецкого математика Иоганна Фридриха Пфаффа.

Алгебра поличисел $\text{[math]}$ реализуется элементами $\text{[math]}$ вида:

\text{[math]}

Четвёртая проблема Гильберта в списке проблем Гильберта касается базовой системы аксиом геометрии. Проблема состоит в том, чтобы

«Определить все с точностью до изоморфизма реализации систем аксиом классических геометрий, если в них опустить аксиомы конгруэнтности, содержащие понятия угла, и пополнить эти системы аксиомой неравенства треугольника».

Людвиг Бервальд — чешский и немецкий математик. Основные труды относятся к дифференциальной геометрии, в частности, финслеровой геометрии. Внёс значительный вклад в общую теорию финслеровых пространств, его именем названо пространство Бервальда — Моора.

Пространство Лобачевского, или гиперболическое пространство размерности $\text{[math]}$ — единственное полное односвязное $\text{[math]}$ -мерное риманово многообразие постоянной отрицательной кривизны, равной $\text{[math]}$ . Обычно обозначается $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ . Двумерное пространство Лобачевского $\text{[math]}$ называется плоскостью Лобачевского.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.