Процесс Пуассона

Процесс Пуассона, поток Пуассона, пуассоновский процесс^[1] — ординарный поток однородных событий, для которого число событий в интервале А не зависит от чисел событий в любых интервалах, не пересекающихся с А, и подчиняется распределению Пуассона. В теории случайных процессов описывает количество наступивших случайных событий, происходящих с постоянной интенсивностью.

Вероятностные свойства потока Пуассона полностью характеризуются функцией Λ(А), равной приращению в интервале А некоторой убывающей функции. Чаще всего поток Пуассона имеет мгновенное значение параметра λ(t) — функцию, в точках непрерывности которой вероятность события потока в интервале [t,t+dt] равна λ(t)dt. Если А — отрезок [a,b], то

${\displaystyle \Lambda (A)=\int \limits _{a}^{b}\lambda (t)\,dt}$

Поток Пуассона, для которого λ(t) равна постоянной λ, называется простейшим потоком с параметром λ.^[2]

Потоки Пуассона определяются для многомерного и вообще любого абстрактного пространства, в котором можно ввести меру Λ(А). Стационарный поток Пуассона в многомерном пространстве характеризуется пространственной плотностью λ. При этом Λ(А) равна объему области А, умноженному на λ.

Различают два вида процессов Пуассона: простой (или просто: процесс Пуассона) и сложный (обобщённый).

Пусть ${\displaystyle \lambda >0}$. Случайный процесс ${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\geq 0}}$ называется однородным Пуассоновским процессом с интенсивностью ${\displaystyle \lambda }$, если

1. ${\displaystyle X_{0}=0}$ почти достоверное.
2. ${\displaystyle \{X_{t}\}}$ — процесс с независимыми приращениями.
3. ${\displaystyle X_{t}-X_{s}\sim \ \mathrm {P} (\lambda (t-s))}$ для любых ${\displaystyle 0\leq s<t<\infty }$, где ${\displaystyle \mathrm {P} (\lambda (t-s))}$ обозначает распределение Пуассона с параметром ${\displaystyle \lambda (t-s)}$.

• Пусть ${\displaystyle \xi _{1},...,\xi _{n}}$ последовательность взаимно независимых одинаково распределённых случайных величин.
• Пусть ${\displaystyle N(t)}$ — простой пуассоновский процесс с интенсивностью ${\displaystyle \lambda }$, не зависящий от последовательности ${\displaystyle \xi _{1},...,\xi _{n}}$.

Обозначим через ${\displaystyle S_{k}}$ сумму первых k элементов введённой последовательности.

Тогда определим сложный Пуассоновский процесс ${\displaystyle \{Y_{t}\}}$ как ${\displaystyle S_{N(t)}}$ .

• Времена между моментами скачков независимы и имеют экспоненциальное распределение ${\displaystyle {\text{Exp}}(\lambda )}$.
• Пуассоновский процесс принимает только неотрицательные целые значения, и более того

${\displaystyle \mathbb {P} (X_{t}=k)={\frac {\lambda ^{k}t^{k}}{k!}}e^{-\lambda t},\quad k=0,1,2,\ldots }$,

то есть момент ${\displaystyle k}$-го скачка имеет гамма-распределение ${\displaystyle {\text{Γ}}(\lambda ,k)}$.

• Траектории процесса Пуассона — кусочно-постоянные, непрерывные справа, неубывающие функции со скачками равными единице почти наверное. Более точно

${\displaystyle \mathbb {P} (X_{t+h}-X_{t}=0)=1-\lambda h+o(h)}$

${\displaystyle \mathbb {P} (X_{t+h}-X_{t}=1)=\lambda h+o(h)}$

${\displaystyle \mathbb {P} (X_{t+h}-X_{t}>1)=o(h)}$ при ${\displaystyle h\to 0}$,

где ${\displaystyle o(h)}$ обозначает «о малое».

Для того чтобы некоторый случайный процесс ${\displaystyle \{X_{t}\}}$ с непрерывным временем был пуассоновским (простым, однородным) или тождественно нулевым достаточно выполнение следующих условий:

1. ${\displaystyle X_{0}=0}$.
2. Процесс имеет независимые приращения.
3. Процесс однородный.
4. Процесс принимает целые неотрицательные значения.
5. ${\displaystyle P\{X_{h}\geq 2\}=o(h)}$ при ${\displaystyle h\searrow 0}$.

• Пусть ${\displaystyle \tau _{1},\dots ,\tau _{n}}$ — моменты скачков процесса Пуассона. ${\displaystyle T=\tau _{j}-\tau _{j-1}}$.

Зависит ли ${\displaystyle T}$ от предыдущей части траектории?
${\displaystyle \mathbb {P} (\{T>t+s\mid T>s\})}$ — ?

Пусть ${\displaystyle u(t)=\mathbb {P} (T>t)}$.

${\displaystyle u(t\mid s)={\frac {\mathbb {P} (T>t+s\cap T>s)}{\mathbb {P} (T>s)}}={\frac {\mathbb {P} (T>t+s)}{\mathbb {P} (T>s)}}}$
${\displaystyle u(t\mid s)u(s)=u(t+s)}$
${\displaystyle u(t\mid s)=s(t)\Leftrightarrow u(t)=e^{-\alpha t}}$.
Распределение длин промежутков времени между скачка́ми обладает свойством отсутствия памяти ⇔ оно показательно.

• Рассмотрим отрезок ${\displaystyle [a,b]}$ на временно́й оси.

${\displaystyle X(b)-X(a)=n}$ — число скачков на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$.
Условное распределение моментов скачков ${\displaystyle \tau _{1},\dots ,\tau _{n}\mid X(b)-X(a)=n}$ совпадает с распределением вариационного ряда, построенного по выборке длины ${\displaystyle n}$ из ${\displaystyle R[a,b]}$.

Плотность этого распределения ${\displaystyle f_{\tau _{1},\dots ,\tau _{n}}(t)={\frac {n!}{(b-a)^{n}}}\mathbb {I} (a\leqslant t_{1}\leqslant \cdots \leqslant t_{n}\leqslant b)}$

• Теорема.

${\displaystyle \mathbb {P} {\biggl (}{\frac {X(t)-\lambda t}{\sqrt {\lambda t}}}<x{\biggr )}{\underset {\lambda t\to \infty }{\overset {x}{\rightrightarrows }}}\Phi (x)\sim N(0,1)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-{\frac {u^{2}}{2}}}du}$

Скорость сходимости:
${\displaystyle \sup \limits _{x}{\biggl |}\mathbb {P} {\biggl (}{\frac {X(t)-\lambda t}{\sqrt {\lambda t}}}<x{\biggr )}-\Phi (x){\biggr |}\leqslant {\frac {C_{0}}{\sqrt {\lambda t}}}}$,
где ${\displaystyle C_{0}}$ — константа Берри-Эссеена.

Поток Пуассона служит для моделирования различных реальных потоков: несчастных случаев, потока заряженных частиц из космоса, отказов оборудования и других. Также возможно применение для анализа финансовых механизмов, таких как поток платежей и других реальных потоков. Для построения моделей различных систем обслуживания и анализа их пригодности.

Использование потоков Пуассона значительно упрощает решение задач систем массового обслуживания, связанных с расчётом их эффективности. Но необоснованная замена реального потока потоком Пуассона там, где это недопустимо, приводит к грубым просчётам.

• Гардинер К. В. Стохастические методы в естественных науках. — М.: Мир, 1986. — 528 с.
• ван Кампен Н. Г. Стохастические процессы в физике и химии. — М.: Высшая школа, 1990. — 376 с.
• Кингман Дж. Пуассоновские процессы. — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.

• Поток однородных событий
• Теория массового обслуживания