Прямоугольное число
Прямоуго́льное число́ — число, которое является произведением двух последовательных целых чисел[1], то есть имеет вид где В части источников также допускается случай данная статья нумерует числа с 1, если не оговорено иное.
Значение прямоугольного числа имеет простой геометрический смысл — оно равно площади прямоугольника шириной и высотой Поэтому многие источники относят прямоугольные числа к классу фигурных чисел, тем более что они тесно связаны с другими разновидностями чисел этого класса[2].
Начало последовательности прямоугольных чисел:
- 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132, 156, 182, 210, 240, 272, 306, 342, 380, 420, … (последовательность A002378 в OEIS)
1×2 2×3 3×4 4×5
Свойства
Все прямоугольные числа чётны, поэтому все они, кроме числа 2, являются составными.
Среднее арифметическое двух последовательных прямоугольных чисел является квадратным числом:
Другими словами, между последовательными прямоугольными числами всегда содержится полный квадрат, причём только один (поскольку ).
-е по порядку прямоугольное число равно удвоенному -му треугольному числу и на больше -го квадратного числа:
Поскольку треугольное число то вдвое большее прямоугольное число равно сумме первых чётных чисел.
Из того, что последовательные целые числа взаимно просты, следует:
- Каждый простой делитель прямоугольного числа может встретиться только в одном из множителей.
- Прямоугольные числа свободны от квадратов тогда и только тогда, когда свободны от квадратов как так и
- Число различных простых делителей прямоугольного числа есть сумма числа различных простых делителей и
- Здесь уголки Айверсона округляют до целого в меньшую сторону, а — в бо́льшую.
Сумма есть квадратное число где обозначает -е по порядку центрированное шестиугольное число.
Ряд из обратных прямоугольных чисел относится к категории телескопических рядов и поэтому сходится:
Применение
Прямоугольное число задаёт:
- число недиагональных элементов квадратной матрицы [3];
- число размещений из элементов по 2;
- в частности, число рёбер, соединяющих (различные) вершины ориентированного графа с вершинами (например, общее число писем, которые могут отправить друг другу, по одному, абонент).
Если приписать к каждому прямоугольному числу, включая 0, справа 25, получится последовательность квадратов чисел, оканчивающихся на 5:
Это следует из формулы:
Производящая функция
Производящая функция последовательности прямоугольных чисел[4]:
Примечания
- ↑ Britannica (онлайн) . Дата обращения: 12 ноября 2021. Архивировано 12 ноября 2021 года.
- ↑ Ben-Menahem, Ari. Historical Encyclopedia of Natural and Mathematical Sciences, Volume 1. — Springer-Verlag, 2009. — С. 161. — (Springer reference). — ISBN 9783540688310.
- ↑ Rummel, Rudolf J. Applied Factor Analysis. — Northwestern University Press, 1998. — С. 319. — ISBN 9780810108240.
- ↑ MathWorld.
Литература
- Conway, J. H.; Guy, R. K. (1996), The Book of Numbers, New York: Copernicus, pp. 33—34.
- Dickson, L. E. (2005), "Divisibility and Primality", History of the Theory of Numbers, vol. 1, New York: Dover, p. 357.
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Pronic Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Oblong numbers на сайте Fun With Num3ers (англ.).