Псевдодуга

Перейти к навигации Перейти к поиску

Псевдодуга — простейший пример континуума $K$ , который наследственно несжимаем, то есть любой подконтинуум $K$ не может быть представлен как объединение двух собственных подконтинуумов.

Построение

Непрерывное отображение $f\colon [a,b]\to [c,d]$ из отрезка на отрезок называется $\varepsilon$ -скрюченным если для любых значений $t_{1}<t_{2}$ в интервале $[a,b]$ найдутся значения $t_{1}<t_{2}'<t_{1}'<t_{2}$ такие, что

|f(t_{1})-f(t_{1}')|<\varepsilon

|f(t_{2})-f(t_{2}')|<\varepsilon

Псевдодугу можно построить как проективный предел последовательности $\varepsilon _{n}$ -скрюченных отображений $f_{n}\colon [0,1]\to [0,1]$ для подходящей последовательности $\varepsilon _{n}$ достаточно быстро сходящейся к нулю.

Связанные определения

Континуум называется змеевидным, если для любого его покрытия найдётся конечное вписанное покрытие ${U_{i}}$ , $i\in \{1,2,\dots ,n\}$ такое, что $U_{i}\cap U_{j}\not =\varnothing$ тогда и только тогда, когда $|i-j|\leq 1$ .

Свойства

Псевдодуга вкладывается в евклидову плоскость.
Никакие две точки псевдодуги не могут быть соединены путём,
- В частности, псевдодуга не содержит жордановых дуг
Существует область $\Omega$ в евклидовой плоскости гомеоморфная диску такая, что каждый нетривиальный собственный подконинуум $\partial \Omega$ гомеоморфен псевдодуге.
Любой нетривиальный подконтинуум псевдодуги гомеоморфен псевдодуге.
В пространстве всех подконтинуумов куба $[0,1]^{n}$ , $n>1$ с метрикой Хаусдорфа псевдодуги образуют плотное G-дельта-множество.^[1]
Псевдодуга является единственным с точностью до гомеоморфизма змеевидным наследственно несжимаем континуумом.

История

Первый пример несжимаемого континуума был построен Брауэром в 1910 году. Вопрос о существовании наследственно несжимаемого континуума был поставлен Куратовским и Кнастером.^[2] Вскоре пример был построен Кнастером^[3].

См. также

Озёра Вады

Примечания

↑ R.H. Bing, A homogeneous indecomposable plane continuum, Duke Math. J., 15 (1948), 729–742.
↑ Knaster, B.; Kuratowski, C. Sur les ensembles connexes. Fundamenta math. 2, 206—255 (1921).
↑ Knaster, B. Un continu dont tout sous-continu est indécomposable. Fundamenta math. 3, 247—286 (1922).

Литература

И. М. Виноградов. Псевдодуга // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985.

Похожие исследовательские статьи

Непреры́вное отображе́ние — отображение из одного пространства в другое, при котором близкие точки области определения переходят в близкие точки области значений.

Уравне́ния Ма́ксвелла — система уравнений в дифференциальной или интегральной форме, описывающих электромагнитное поле и его связь с электрическими зарядами и токами в вакууме и сплошных средах. Вместе с выражением для силы Лоренца, задающим меру воздействия электромагнитного поля на заряженные частицы, эти уравнения образуют полную систему уравнений классической электродинамики, называемую иногда уравнениями Максвелла — Лоренца. Уравнения, сформулированные Джеймсом Клерком Максвеллом на основе накопленных к середине XIX века экспериментальных результатов, сыграли ключевую роль в развитии представлений теоретической физики и оказали сильное, зачастую решающее влияние не только на все области физики, непосредственно связанные с электромагнетизмом, но и на многие возникшие впоследствии фундаментальные теории, предмет которых не сводился к электромагнетизму.

Критерий Коши — ряд утверждений в математическом анализе:

Критерий сходимости последовательности — на котором основывается определение полного метрического пространства.
Критерий сходимости числовых рядов.
Критерий Коши равномерной сходимости несобственных интегралов.
Критерий Коши или число Коши — критерий подобия в механике сплошных сред.

Ме́ра Лебе́га на $\text{[math]}$ — мера, обобщающая понятия длины отрезка, площади фигуры и объёма тела на произвольное $\text{[math]}$ -мерное евклидово пространство. Говоря более формально, мера Лебега является продолжением меры Жордана на более широкий класс множеств.

В квантовой физике золотое правило Ферми — это формула, которая использует временную теорию возмущений в нерелятивистской квантовой механике и описывает скорость перехода их одного собственного состояния энергии квантовой системы к группе собственных состояний энергии в непрерывном спектре (континууме) в результате слабого возмущения. Эта скорость перехода фактически не зависит от времени и пропорциональна силе связи между начальным и конечным состояниями системы, а также плотности состояний. Золотое правило Ферми также применимо, когда конечное состояние дискретно, то есть оно не является частью континуума, если в процессе имеет место некоторая декогеренция, например релаксация или столкновение атомов, или шум в возмущении, и в этом случае плотность состояний заменяется выражением, учитывающим конечное время жизни.

Статистика Фе́рми — Дира́ка — квантовая статистика, применяемая к системам тождественных фермионов. Определяет вероятность, с которой данный энергетический уровень системы, находящейся в термодинамическом равновесии, оказывается занятым фермионом.

Фильтр Чебышёва — один из типов линейных аналоговых или цифровых фильтров, отличительной особенностью которого является более крутой спад амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) и существенные пульсации амплитудно-частотной характеристики на частотах полос пропускания и подавления, чем у фильтров других типов. Фильтр получил название в честь известного русского математика XIX века Пафнутия Львовича Чебышёва, так как характеристики этого фильтра основываются на многочленах Чебышёва.

Символ Ле́ви-Чиви́ты — математический символ, который используется в тензорном анализе. Назван в честь итальянского математика Туллио Леви-Чивиты. Обозначается $\text{[math]}$ . Здесь приведён символ для трёхмерного пространства, для других размерностей меняется количество индексов.

Волновое уравнение в физике — линейное гиперболическое дифференциальное уравнение в частных производных, задающее малые поперечные колебания тонкой мембраны или струны, а также другие колебательные процессы в сплошных средах и электромагнетизме (электродинамике). Находит применение и в других областях теоретической физики, например при описании гравитационных волн. Является одним из основных уравнений математической физики.

Метод Ньютона, алгоритм Ньютона — это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1643—1727). Поиск решения осуществляется путём построения последовательных приближений и основан на принципах простой итерации. Метод обладает квадратичной сходимостью. Модификацией метода является метод хорд и касательных. Также метод Ньютона может быть использован для решения задач оптимизации, в которых требуется определить ноль первой производной либо градиента в случае многомерного пространства.

Фибоначчиева система счисления — смешанная система счисления для целых чисел на основе чисел Фибоначчи F₂=1, F₃=2, F₄=3, F₅=5, F₆=8 и т. д.

Расширенная числовая прямая — множество вещественных чисел $\text{[math]}$ , дополненное двумя бесконечно удалёнными точками: $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ , то есть $\text{[math]}$ . Следует понимать, что $\text{[math]}$ не являются числами и имеют немного иную природу, но для них, как и для вещественных чисел, тоже определено отношение порядка. Также сами элементы $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ считаются неравными друг другу.

<span class="mw-page-title-main">Карацуба, Анатолий Алексеевич</span> советский и российский математик

Анато́лий Алексе́евич Карацу́ба — советский и российский математик. Создатель первого быстрого метода в истории математики — метода умножения больших чисел.

Теорема Сарда — теорема математического анализа с приложениями в дифференциальной геометрии и топологии, теории катастроф и теории динамических систем.

Векторная авторегрессия - модель динамики нескольких временных рядов, в которой текущие значения этих рядов зависят от прошлых значений этих же временных рядов. Модель предложена Кристофером Симсом как альтернатива системам одновременных уравнений, которые предполагают существенные теоретические ограничения. VAR-модели свободны от ограничений структурных моделей. Тем не менее, проблема VAR-моделей заключается в резком росте количества параметров с увеличением количества анализируемых временных рядов и количества лагов.

Функция Мертенса — числовая функция, определяемая для натуральных чисел $\text{[math]}$ формулой:

\text{[math]}

Метод Стронгина — метод решения одномерных задач условной липшицевой оптимизации. Позволяет находить глобально оптимальное решение в задачах с ограничениями неравенствами при условии, что целевая функция задачи и левые части неравенств удовлетворяют условию Липшица в области поиска.

Бронислав Кнастер — польский математик, наиболее известен работами по общей топологии.

Лемма регулярности Семереди — лемма из общей теории графов, утверждающая, что вершины любого достаточно большого графа можно разбить на конечное число групп таких, что почти во всех двудольных графах, соединяющих вершины из двух разных групп, рёбра распределены между вершинами почти равномерно. При этом минимальное требуемое количество групп, на которые нужно разбить множество вершин графа, может быть сколь угодно большим, но количество групп в разбиении всегда ограничено сверху.

Сателлитный узел — конструкция, позволяющая построить новый узел из двух узлов с определёнными дополнительными структурами. Эта конструкция включает связную сумму узлов а также удвоение Уайтхеда как частные случаи.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.