Пучок матриц

Перейти к навигации Перейти к поиску

Пучок матриц — функция $L(\lambda )$ от комплексного аргумента, возвращающая для заданного набора ненулевых матриц $A_{0},A_{1},\dots ,A_{l}$ комбинацию:

L(\lambda )=\sum _{i=0}^{l}\lambda ^{i}A_{i}

( $l$ называется степенью пучка).

Частным случаем является линейный пучок матриц $A-\lambda B\,$ с $\lambda \in \mathbb {C}$ (или $\lambda \in \mathbb {R}$ ), где матрицы $A$ и $B$ являются комплексными (или вещественными) $n\times n$ -матрицами^[1]. Такой пучок кратко обозначается $(A,B)$ .

Пучок называется регулярным, если имеется по меньшей мере одно значение $\lambda$ , для которого $\det(A-\lambda B)\neq 0$ . Собственные значения пучка матриц $(A,B)$ называются все комплексные числа $\lambda$ , для которых $\det(A-\lambda B)=0$ (по аналогии с собственными значениями матриц). Множество собственных значений называется спектром пучка и записывается как $\sigma (A,B)$ . Также считается, что пучок имеет (одно или более) собственное значение на бесконечности, если $B$ имеет (одно или более) нулевых собственных значений.

Если две матрицы коммутируют ( $AB=BA$ ), то образованный ими пучок удовлетворяет одному из следующих условий^[2]:

состоит только из матриц, подобных диагональной,
не имеет матриц, подобных диагональной,
имеет в точности одну матрицу, подобную диагональной.

Пучки матриц играют важную роль в численных методах линейной алгебры. Задача нахождения собственных пучков называется обобщённой задачей нахождения собственных значений. Наиболее распространённым методом решения этой задачи является QZ-алгоритм, который является неявной версией QR-алгоритма для решения связанной задачи собственных значений $B^{-1}Ax=\lambda x$ без явного формирования матрицы $B^{-1}A$ (что может быть невозможно или плохо обусловлено, если $B$ вырождена или почти вырождена).

Примечания

↑ Golub, Van Loan, 1999, с. 375.
↑ Marcus, Minc, 1969, с. 79.

Литература

Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун. Матричные вычисления. — Москва: «Мир», 1999. — ISBN 5-03-002406-9.
Marvin Marcus, Henryk Minc. A survey of matrix theory and matrix inequalities. — New York: Dover Publications, 1969. — ISBN 0-486-67102-X.

Похожие исследовательские статьи

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля, который представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся его элементы. Количество строк и столбцов задаёт размер матрицы. Матрицу можно также представить в виде функции двух дискретных аргументов. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы, в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.

Определи́тель (детермина́нт) в линейной алгебре — скалярная величина, которая характеризует ориентированное «растяжение» или «сжатие» многомерного евклидова пространства после преобразования матрицей; имеет смысл только для квадратных матриц. Стандартные обозначения определителя матрицы $\text{[math]}$ — $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .

Жорданова матрица — квадратная блочно-диагональная матрица над полем $\text{[math]}$ , с блоками вида

\text{[math]}

Характеристический многочлен матрицы — многочлен, определяющий её собственные значения.

Вы́рожденная ма́трица — квадратная матрица $\text{[math]}$ определитель которой $\text{[math]}$ равен нулю.

В математике квадра́тная ма́трица — это матрица, у которой число строк совпадает с числом столбцов, и это число называется порядком матрицы. Любые две квадратные матрицы одинакового порядка можно складывать и умножать.

Симметричной (Симметрической) называют квадратную матрицу, элементы которой симметричны относительно главной диагонали. Более формально, симметричной называют такую матрицу $\text{[math]}$ , что $\text{[math]}$ .

Со́бственный ве́ктор — понятие в линейной алгебре, определяемое для произвольного линейного оператора как ненулевой вектор, применение к которому оператора даёт коллинеарный вектор — тот же вектор, умноженный на некоторое скалярное значение. Скаляр, на который умножается собственный вектор под действием оператора, называется собственным числом линейного оператора, соответствующим данному собственному вектору. Одним из представлений линейного оператора является квадратная матрица, поэтому собственные векторы и собственные значения часто определяются в контексте использования таких матриц.

Гессиан функции — симметрическая квадратичная форма, описывающая поведение функции во втором порядке.

Нормальная матрица — комплексная квадратная матрица $\text{[math]}$ , коммутирующая со своей эрмитово-сопряжённой матрицей:

\text{[math]}

Метод главных компонент — один из основных способов уменьшить размерность данных, потеряв наименьшее количество информации. Изобретён Карлом Пирсоном в 1901 году. Применяется во многих областях, в том числе в эконометрике, биоинформатике, обработке изображений, для сжатия данных, в общественных науках.

Разложе́ние ма́трицы — представление матрицы $\text{[math]}$ в виде произведения матриц, обладающих некоторыми определёнными свойствами. У каждого класса матричных разложений имеется своя область применения; в частности, многие эффективные алгоритмы вычислительной линейной алгебры основаны на построении соответствующих матричных разложений.

Спектральное разложение матрицы или разложение матрицы на основе собственных векторов — это представление квадратной матрицы $\text{[math]}$ в виде произведения трёх матриц $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — матрица, столбцы которой являются собственными векторами матрицы $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ — диагональная матрица с соответствующими собственными значениями на главной диагонали, $\text{[math]}$ — матрица, обратная матрице $\text{[math]}$ .

Разложение Шура — разложение матрицы на унитарную, верхнюю треугольную и обратную унитарную матрицы, названное именем Исая Шура.

Алгоритм вычисления собственных значений — алгоритм, позволяющий определить собственные значения и собственные векторы заданной матрицы. Создание эффективных и устойчивых алгоритмов для этой задачи является одной из ключевых задач вычислительной математики.

В линейной алгебре квадратная матрица A называется диагонализируемой, если она подобна диагональной матрице, то есть если существует невырожденная матрица P, такая что P⁻¹AP является диагональной матрицей. Если V — конечномерное векторное пространство, то линейное отображение T : V → V называется диагонализируемым, если существует упорядоченный базис в V, при котором T представляется в виде диагональной матрицы. Диагонализацией называется процесс нахождения соответствующей диагональной матрицы для диагонализируемой матрицы или линейного отображения. Квадратная матрица, которую нельзя диагонализировать, называется дефектной.

Симплектическая матрица — это матрица M размера 2n×2n с вещественными элементами, которая удовлетворяет условию

Квадратичная задача собственных значений (КЗСЗ) — это задача поиска скалярных собственных значений $\text{[math]}$ , левых и правых собственных векторов $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ , таких что

\text{[math]}

Подалгебра Картана — нильпотентная подалгебра Ли $\text{[math]}$ , равная своему нормализатору:

$\text{[math]}$ для некоторого $\text{[math]}$ (нильпотентность),
$\text{[math]}$ (самонормализованность).

Круги Гершгорина — набор кругов на комплексной плоскости, определяемых по квадратной матрице, таких, что все собственные значения данной матрицы заведомо лежат внутри каких-то из этих кругов. Таким образом, они позволяют получить априорное ограничение на расположение собственных значений квадратной матрицы. Впервые их описание было опубликовано советским математиком Семёном Ароновичем Гершгориным в 1931 году.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.