Пфаффианом кососимметричной матрицы называется некоторый многочлен от её элементов, квадрат которого равен определителю этой матрицы. Как и определитель, пфаффиан является ненулевым только для кососимметричных матриц размера , и в этом случае его степень равна n.
Примеры
Определение
Пусть обозначает множество всех разбиений множества на неупорядоченные пары (всего существует таких разбиений). Разбиение может быть записано
где и . Пусть
обозначает соответствующую перестановку, а — знак перестановки . Нетрудно видеть, что не зависит от выбора .
Пусть обозначает кососимметричную матрицу. Для разбиения определим
Теперь можно определить пфаффиан матрицы A как
Пфаффиан кососимметричной матрицы размера для нечётного n равен нулю по определению.
Рекурсивное определение
Пфаффиан матрицы размера полагается равным 1; пфаффиан кососимметричной матрицы A размера при может быть определён рекурсивно следующим образом:
где индекс может быть выбран произвольно, — функция Хевисайда, обозначает матрицу A без i-той и j-той колонки и строки.
Альтернативное определение
Для кососимметричной матрицы рассмотрим бивектор:
где есть стандартный базис в . Тогда пфаффиан определяется следующим уравнением:
где обозначает внешнее произведение n копий .
Свойства
Для кососимметричной матрицы и для произвольной матрицы :
- Для блок-диагональной матрицы
- Для произвольной матрицы :
История
Термин «пфаффиан» был введён Кэли[1] и назван в честь немецкого математика Иоганна Фридриха Пфаффа.
Примечания
Литература