Равномерная ограниченность

Равномерная ограниченность — свойство семейства вещественных функций ${\displaystyle f_{\alpha }:X\to \mathbb {R} }$, где ${\displaystyle \alpha \in A}$, ${\displaystyle A}$ — некоторое множество индексов, ${\displaystyle X}$ — произвольное множество, означающее, что все функции семейства ограничены одной константой ${\displaystyle C}$.

${\displaystyle \exists C>0\;\forall \alpha \in A\;\forall x\in X\;|f_{\alpha }(x)|\leqslant C.}$

Понятие равномерная ограниченности семейства функций обобщается на случай отображений в нормированные и полунормированные пространства: семейство отображений ${\displaystyle f_{\alpha }:X\to Y}$, где ${\displaystyle Y}$ — полунормированное пространство с полунормой ${\displaystyle \Vert *\Vert }$, называется равномерно ограниченным, если существует такая постоянная ${\displaystyle C>0}$, что для всех ${\displaystyle \alpha \in A}$ и всех ${\displaystyle x\in X}$ выполняется неравенство

${\displaystyle \Vert f_{\alpha }(x)\Vert \leqslant C}$

Равномерная ограниченность сверху (снизу) означает что существует такая постоянная ${\displaystyle C\in \mathbb {R} }$, что для всех а ${\displaystyle \alpha \in A}$ и всех ${\displaystyle x\in X}$ выполняется неравенство ${\displaystyle f_{\alpha }(x)\leqslant C}$ (соответственно ${\displaystyle f_{\alpha }(x)\geqslant C}$)

Понятие равномерной ограниченности снизу и сверху обобщается на случай отображений ${\displaystyle f_{\alpha }:X\to Y}$ в упорядоченные в том или ином смысле множества.

• Принцип равномерной ограниченности — теорема Банаха-Штейнгауза