Равносторонний многоугольник
Равносторо́нний многоуго́льник — многоугольник, у которого все стороны равны. Например, равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны одинаковы; все равносторонние треугольники подобны и имеют внутренние углы[англ.] 60 градусов. Равносторонний четырёхугольник — это ромб, и квадрат является частным случаем ромба.
Свойства
Равносторонний многоугольник, который также и равноуголен является правильным многоугольником.
Равносторонний многоугольник, вписанный в окружность (его вершины лежат на окружности) является правильным многоугольником (то есть многоугольником, одновременно и равносторонним, и равноугольным).
Описанный многоугольник (у которого существует окружность, касающаяся всех его сторон) является равносторонним в том и только в том случае, когда углы через один равны (то есть, при последовательной нумерации углов углы с номерами 1, 3, 5, … равны и углы 2, 4, … равны). Таким образом, если — нечётно, описанный многоугольник является равносторонним в том и только в том случае, когда он правильный[1].
Все равносторонние четырёхугольники выпуклы[англ.], но существуют вогнутые[англ.] равносторонние пятиугольники, как и выпуклые равносторонние многоугольники с большим числом сторон.
Каждая главная диагональ шестиугольника делит его на четырёхугольники. В любом выпуклом равностороннем шестиугольнике с общей стороной существует[2] главная диагональ , такая что:
- ,
и главная диагональ , такая, что:
- .
Существует конечная последовательность элементарных отражений, переводящих любой равносторонний многоугольник в правильный[3][4].
Теорема Вивиани
Теорема Вивиани в части постоянства суммы расстояний от произвольной внутренней точки до каждой из сторон обобщается для равносторонних многоугольников[5]. Действительно, представив стороны многоугольника в виде векторов , притом выбрав направления так, чтобы конец одного вектора был началом другого, сумма этих векторов равна нулю, а следовательно:
- , .
Без умаления общности можно считать, что все длины векторов равны 1. Повернув все векторы на 90° в одном направлении, получатся векторы , и все они будут нормалями к сторонам. Уравнение прямой, проходящей через сторону будет задаваться уравнением . Поскольку длина вектора равна единице, расстояние до прямой от любой точки плоскости будет равно (расстояние может быть отрицательным — зависит от того, в какой полуплоскости лежит точка), а сумма расстояний равна , то есть, не зависит от положения точки.
Площадь и периметр равносторонних многоугольников
- Если нечётно, то правильный -угольник единичного диаметра даёт максимальную возможную площадь и периметр[6].
- Правильный -угольник является единственным решением в задаче нахождения максимальной площади фигуры единичного диаметра, если нечётно, но в задаче нахождения максимального периода при нечётном решение единственно только для простых .
- Если чётно и , то правильный -угольник единичного диаметра не даёт ни максимальной площади, ни максимального периметра.
- Если имеет нечётный делитель, то любой многоугольник с максимальным периметром является равносторонним.
См. также
- Равносторонний пятиугольник[англ.]
Примечания
- ↑ Michael De Villiers. Equiangular cyclic and equilateral circumscribed polygons // Mathematical Gazette. — March 2011. — Вып. 95. — С. 102—107.
- ↑ Inequalities proposed in «Crux Mathematicorum», [1] Архивная копия от 30 августа 2017 на Wayback Machine. p.184,#286.3
- ↑ Godfried Toussaint. The Erds–Nagy theorem and its ramifications // Computational Geometry. — 2005. — Вып. 31. — С. 219—236.
- ↑ Kenneth C. Millett. Knotting of regular polygons in 3-space // Journal of Knot Theory and Its Ramifications. — 1994. — Т. 3, вып. 3. — С. 263—278.
- ↑ Elias Abboud. On Viviani’s Theorem and its Extensions // College Mathematics Journal. — March, 2010. — Т. 43 (3).
- ↑ Michael J. Mossinghoff. An Isodiametric Problem for Equilateral Polygons // Contemporary Mathematics. — 2008. — Т. 457,.
Ссылки
- Equilateral triangle With interactive animation
- A Property of Equiangular Polygons: What Is It About? a discussion of Viviani’s theorem at Cut-the-knot.