Радикальная ось

Радика́льная ось — геометрическое место точек, степени которых относительно двух заданных окружностей равны^[1]. Иными словами, равны длины четырёх касательных, проведённых к двум данным окружностям из любой точки ${\displaystyle M}$ данного геометрического места точек.

Радикальная ось является прямой, поскольку степень точки относительно окружности равна ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+Ax+By+C}$, где коэффициенты ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ определяются через координаты центра и радиус окружности, то, приравняв степени точки относительно двух окружностей, получается:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=x^{2}+y^{2}+A_{2}x+B_{2}y+C_{2}\Leftrightarrow (A_{1}-A_{2})x+(B_{1}-B_{2})y+(C_{1}-C_{2})=0}$

— уравнение прямой. Существует также доказательство этого факта с использованием только геометрических методов.

Радикальная ось существует тогда и только тогда, когда окружности неконцентрические, и может быть определена как для окружностей, так и для точек (окружностей нулевого радиуса) и мнимых окружностей (мнимого радиуса).

Радикальная ось перпендикулярна линии центров, что следует из симметричности обеих окружностей относительно линии центров.

Если ${\displaystyle P}$ — точка на радикальной оси, то длины касательных из точки ${\displaystyle P}$ к обеим окружностям равны — это следует из того, что степень точки равна квадрату длины отрезка касательной. В частности, радикальная ось делит пополам отрезки общих касательных.

Если окружности пересекаются в двух точках, то их радикальной осью будет прямая, проходящая через эти точки, если они касаются внешним образом — то радикальной осью будет общая внутренняя касательная, если внутренним — то общая касательная (единственная).

Если прямые, содержащие хорды ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle CD}$ первой и второй окружности соответственно пересекаются на радикальной оси, то четырёхугольник ${\displaystyle ABCD}$ вписанный. Это несложно доказать: пусть ${\displaystyle P}$ — точка пересечения. По свойству степени точки, она равна ${\displaystyle PA\cdot PB,}$ а так как P лежит на радикальной оси, то она равна и ${\displaystyle PC\cdot PD.}$ Так как ${\displaystyle PA\cdot PB=PC\cdot PD,}$ то точки ${\displaystyle A,B,C}$ и ${\displaystyle D}$ лежат на одной окружности. Верно и обратное: если две окружности пересечь третьей так, что ${\displaystyle AB}$ — общая хорда первой и третьей, а ${\displaystyle CD}$ — общая хорда второй и третьей, то прямые AB и CD пересекутся на радикальной оси первых двух окружностей, причём в так называемом радикальном центре трёх окружностей (см. ниже). На этом свойстве основано построение радикальной оси циркулем и линейкой: построим окружность, пересекающую две данные в четырёх точках, а затем опустим из их радикального центра перпендикуляр на линию центров.

Радикальные оси трёх окружностей с неколлинеарными центрами пересекаются в одной точке, называемой радикальным центром. Пусть ${\displaystyle \Omega _{1},\Omega _{2},\Omega _{3}}$ — окружности, а ${\displaystyle P}$ — точка пересечения радикальной оси окружностей ${\displaystyle \Omega _{1}}$ и ${\displaystyle \Omega _{2}}$ с радикальной осью окружностей ${\displaystyle \Omega _{2}}$ и ${\displaystyle \Omega _{3}}$. Если ${\displaystyle {\mathfrak {P}}(\omega ,A)}$ — степень точки ${\displaystyle A}$ относительно окружности ${\displaystyle \omega ,}$ то по определению радикальной оси ${\displaystyle {\mathfrak {P}}(\Omega _{1},P)={\mathfrak {P}}(\Omega _{2},P)={\mathfrak {P}}(\Omega _{3},P),}$ и точка ${\displaystyle P}$ лежит на радикальной оси окружностей ${\displaystyle \Omega _{1}}$ и ${\displaystyle \Omega _{3}.}$

Геометрическое место центров окружностей, ортогональных двум данным, есть их радикальная ось с исключённой общей хордой (если она есть).

Антигомологические хорды^[] двух окружностей пересекаются на их радикальной оси (видимо, имеются в виду две хорды, проходящие через две пары антигомотетических точек двух окружностей.

Если для четырёхугольника ${\displaystyle ABCD}$ прямые ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle CD}$ пересекаются в точке ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle BC}$ и ${\displaystyle AD}$ — в ${\displaystyle E}$, то окружности, построенные на отрезках ${\displaystyle AC}$, ${\displaystyle BD}$ и ${\displaystyle EF}$, как на диаметрах, имеют общую радикальную ось, на которой лежат точки пересечения высот треугольников ${\displaystyle ABE}$, ${\displaystyle CDE}$, ${\displaystyle BCF}$ и ${\displaystyle ADF}$ (прямая Обера — Штейнера).

Две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными. Окружности можно считать ортогональными, если они образуют прямой угол друг с другом. Две пересекающиеся в точках ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ окружности с центрами ${\displaystyle O}$ и ${\displaystyle O'}$ называются ортогональными, если являются прямыми углы ${\displaystyle \angle OAO}$ и ${\displaystyle \angle OBO}$. Именно это условие гарантирует прямой угол между окружностями. В этом случае перпендикулярны радиусы (нормали) двух окружностей, проведённые в точку их пересечения. Следовательно, перпендикулярны и касательные двух окружностей, проведённые в точку их пересечения. Касательная окружности перпендикулярна радиусу (нормали), проведённому в точку касания. Обычно угол между кривыми — это угол между их касательными, проведёнными в точке их пересечения.

Возможно другое дополнительное условие: если две пересекающиеся в точках ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ окружности имеют середины пресекающихся дуг в точках ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle D}$, то есть дуга ${\displaystyle AC}$ равна дуге ${\displaystyle CB}$, дуга ${\displaystyle AB}$ равна дуге ${\displaystyle DB}$, то эти окружности называются ортогональными, если являются прямыми углы ${\displaystyle \angle CAD}$ и ${\displaystyle \angle CBD}$.

На прямой, проходящей через точки касания двух вневписанных окружностей треугольника с двумя его сторонами, эти вневписанные окружности отсекают равные отрезки. Вариант формулировки: если две вневписанные окружности треугольника касаются двух его разных сторон и двух их продолжений в четырёх точках касания, то образуемый четырьмя последними точками, как вершинами, четырёхугольник есть равнобокая трапеция, у которой равны две боковые стороны, а также равны две диагонали (касательные к двум окружностям).

Диагонали описанного около окружности шестиугольника, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке (теорема Брианшона для окружности).