Радикал Джекобсона

Радикалом Джекобсона кольца $A$ называется пересечение всех его максимальных правых^[1] идеалов. Он также допускает следующее описание: всякий элемент $x\in A$ принадлежит радикалу Джекобсона тогда и только тогда, когда элемент $1-xy$ обратим в $A$ для всех $y\in A$ . Предложен Н. Джекобсоном в 1945 году.

В кольце $A[x]$ радикал Джекобсона совпадает с нильрадикалом.

Примечания

↑ И. Ламбек. Кольца и модули / Михалев. — 1. — Москва: Мир, 1971. — С. 93-96.

Литература

Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру — М.:, Мир, 1972.
Ламбек И. Кольца и модули — М.:, Мир, 1971.

Похожие исследовательские статьи

Кольцо́ в общей алгебре — алгебраическая структура, в которой определены операция обратимого сложения и операция умножения, по свойствам похожие на соответствующие операции над числами. Простейшими примерами колец являются совокупности чисел, совокупности числовых функций, определённых на заданном множестве. Во всех случаях имеется множество, похожее на совокупности чисел в том смысле, что его элементы можно складывать и умножать, причём эти операции ведут себя естественным образом.

По́ле в общей алгебре — множество, для элементов которого определены операции сложения, взятия противоположного значения, умножения и деления, причём свойства этих операций близки к свойствам обычных числовых операций. Простейшим полем является поле рациональных чисел (дробей). Элементы поля не обязательно являются числами, поэтому, несмотря на то, что названия операций поля взяты из арифметики, определения операций могут быть далеки от арифметических.

А́белева гру́ппа — группа, в которой групповая операция является коммутативной; иначе говоря, группа $\text{[math]}$ абелева, если $\text{[math]}$ для любых двух элементов $\text{[math]}$ .

Идеал — одно из основных понятий общей алгебры. Наибольшее значение идеалы имеют в теории колец, но также определяются и для полугрупп, алгебр и некоторых других алгебраических структур. Название «идеал» ведёт своё происхождение от «идеальных чисел», которые были введены в 1847 году немецким математиком Э. Э. Куммером. Простейшим примером идеала может служить подкольцо чётных чисел в кольце целых чисел. Идеалы дают удобный язык для обобщения результатов теории чисел на общие кольца.

Алгебраическая система в универсальной алгебре — непустое множество $\text{[math]}$ (носитель) с заданным на нём набором операций и отношений (сигнатурой). Алгебраическая система с пустым множеством отношений называется алгеброй, а система с пустым множеством операций — моделью.

Мо́дуль над кольцо́м — обобщение понятия векторного пространства с полей на кольца. Одно из основных понятий общей алгебры.

Алгебра над полем — векторное пространство, снабжённое билинейным произведением. Это значит, что алгебра над полем является одновременно векторным пространством и кольцом, причём эти структуры согласованы. Обобщением этого понятия является алгебра над кольцом, которая, вообще говоря, является не векторным пространством, а модулем над некоторым кольцом.

Категория модулей ― категория, объекты которой ― правые унитарные модули над произвольным ассоциативным кольцом K с единицей, а морфизмы ― гомоморфизмы K-модулей.

Модулярный идеал или регулярный идеал ― правый (левый) идеал $\text{[math]}$ кольца $\text{[math]}$ , обладающий следующим свойством: в кольце $\text{[math]}$ найдется хотя бы один такой элемент $\text{[math]}$ , что для всех $\text{[math]}$ разность $\text{[math]}$ принадлежит $\text{[math]}$ .

Нильпотентный элемент — элемент кольца, некоторая степень которого обращается в ноль.

Нильпотентный идеал — идеал $\text{[math]}$ кольца $\text{[math]}$ , для которого существует натуральное число $\text{[math]}$ , такое, что $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ — аддитивная подгруппа, порождённая множеством всех произведений из $\text{[math]}$ элементов идеала $\text{[math]}$ , то есть идеал нильпотентен тогда и только тогда, когда существует натуральное число $\text{[math]}$ , такое, что произведение любых $\text{[math]}$ элементов идеала $\text{[math]}$ равно 0. Наибольший интерес понятие нильпотентного идеала представляет для случая некоммутативных колец.

Простой идеал — естественное обобщение понятия простого числа в теории колец.

Подмодуль ― подмножество модуля, являющееся подгруппой его аддитивной группы и замкнутое относительно умножения на элементы основного кольца. В частности, левый (правый) идеал кольца $\text{[math]}$ является подмодулем левого (правого) $\text{[math]}$ -модуля $\text{[math]}$ .

Евклидово кольцо — общеалгебраическое кольцо, в котором существует аналог алгоритма Евклида.

Лемма Накаямы — важная техническая лемма в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии, следствие правила Крамера. Названа именем Тадаси Накаямы.

Свобо́дный мо́дуль — модуль F над кольцом R, если он либо является нулевым, либо обладает базисом, то есть непустой системой S элементов e₁,…e_i…, которая является линейно независимой и порождает F. Само кольцо R, рассматриваемое как левый модуль над собой, очевидно обладает базисом, состоящим из одного единичного элемента кольца, а каждый модуль с конечным базисом из n элементов изоморфен прямой сумме Rⁿ колец R, рассматриваемых как модули.

В общей алгебре, дедекиндово кольцо — это целостное кольцо, в котором каждый ненулевой собственный идеал раскладывается в произведение простых идеалов. Можно показать, что в этом случае разложение единственно с точностью до порядка сомножителей. Ниже приведено несколько других описаний дедекиндовых колец, которые можно принять за определение.

Групповое кольцо — это кольцо, являющееся в то же время свободным модулем, которое можно построить по данному кольцу и данной группе. Неформально говоря, групповое кольцо $\text{[math]}$ — это свободный модуль над кольцом $\text{[math]}$ базис которого находится в биективном соответствии с элементами группы $\text{[math]}$ умножение базисных элементов определяется как умножение элементов группы, а на остальные элементы умножение «распространяется по линейности».

Конечное кольцо в общей алгебре — это кольцо, содержащее конечное число элементов. Другими словами, это (непустое) конечное множество $\text{[math]}$ , на котором определены операции сложения и умножения, причём относительно сложения $\text{[math]}$ образует коммутативную конечную группу, а умножение связано со сложением обычными распределительными законами. Существование единицы и коммутативность умножения в кольце не всегда имеют место, могут также существовать делители нуля.

Первичный идеал является обобщением понятия простого числа в кольце целых чисел на произвольные (некоммутативные) кольца.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.