Радикал идеала

Перейти к навигации Перейти к поиску

В коммутативной алгебре радикал идеала I — это идеал, образованный всеми элементами x такими, что некоторая степень x принадлежит I. Радикальный идеал — это идеал, совпадающий со своим собственным радикалом.

Определение

Радикал идеала I в коммутативном кольце R, обозначаемый ${\sqrt {I}}$ , определяется как

{\sqrt {I}}=\{r\in R\mid \exists n\in \mathbb {N} \,\,\,r^{n}\in I\}

Интуитивно, для получения радикала идеала нужно взять корни всех возможных степеней из его элементов. Эквивалентное определение радикала идеала I — это прообраз нильрадикала $R/I$ при отображении факторизации. Это также доказывает, что ${\sqrt {I}}$ является идеалом.

Примеры

В кольце целых чисел радикал главного идеала $(a)$ — это идеал, порождённый произведением всех простых делителей $a$ .
Радикал примарного идеала прост. Если радикал идеала максимален, то этот идеал примарен (если же радикал прост, то идеал не обязательно примарен).
В любом коммутативном кольце ${\sqrt {P^{n}}}=P$ для простого идеала $P$ ^[1]. В частности, каждый простой идеал радикален.

Свойства

${\sqrt {\sqrt {I}}}={\sqrt {I}}$ . Более того, ${\sqrt {I}}$ — это наименьший радикальный идеал, содержащий I.
${\sqrt {I}}$ — это пересечение всех простых идеалов, содержащих I. В частности, нильрадикал — это пересечение всех простых идеалов.
Идеал является радикальным тогда и только тогда, когда факторкольцо по нему не содержит нетривиальных нильпотентов.

Приложения

Основная мотивация для изучения радикалов — это их появление в знаменитой теореме Гильберта о нулях из коммутативной алгебры. Наиболее простая формулировка этой теоремы имеет следующий вид: для любого алгебраически замкнутого поля $k$ и любого конечнопорождённого идеала $J$ в кольце многочленов от $n$ переменных над полем $k$ верно следующее равенство:

\operatorname {I} (\operatorname {V} (J))={\sqrt {J}},

где

\operatorname {V} (J)=\{x\in k^{n}\ |\ f(x)=0~\forall f\in J\}

\operatorname {I} (S)=\{f\in k[x_{1},x_{2},\ldots x_{n}]\ |\ f(x)=0~\forall x\in S\}.

Примечания

↑ Атья и Макдональд, 2003, Предложение 4.2.

Литература

Атья М., Макдональд И. . Введение в коммутативную алгебру. — М.: Факториал Пресс, 2003. — ISBN 5-88688-067-4.
Eisenbud, David. . Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. — Springer-Verlag, 1995. — (Graduate Texts in Mathematics, vol. 150). — ISBN 0-387-94268-8.

Похожие исследовательские статьи

Кольцо́ в общей алгебре — алгебраическая структура, в которой определены операция обратимого сложения и операция умножения, по свойствам похожие на соответствующие операции над числами. Простейшими примерами колец являются совокупности чисел, совокупности числовых функций, определённых на заданном множестве. Во всех случаях имеется множество, похожее на совокупности чисел в том смысле, что его элементы можно складывать и умножать, причём эти операции ведут себя естественным образом.

По́ле в общей алгебре — множество, для элементов которого определены операции сложения, взятия противоположного значения, умножения и деления, причём свойства этих операций близки к свойствам обычных числовых операций. Простейшим полем является поле рациональных чисел (дробей). Элементы поля не обязательно являются числами, поэтому, несмотря на то, что названия операций поля взяты из арифметики, определения операций могут быть далеки от арифметических.

Идеал — одно из основных понятий общей алгебры. Наибольшее значение идеалы имеют в теории колец, но также определяются и для полугрупп, алгебр и некоторых других алгебраических структур. Название «идеал» ведёт своё происхождение от «идеальных чисел», которые были введены в 1847 году немецким математиком Э. Э. Куммером. Простейшим примером идеала может служить подкольцо чётных чисел в кольце целых чисел. Идеалы дают удобный язык для обобщения результатов теории чисел на общие кольца.

Тополо́гия Зари́сского, или топология Зариского, — специальная топология, отражающая алгебраическую природу алгебраических многообразий. Названа в честь Оскара Зарисского и, начиная с 1950-х годов, занимает важное место в алгебраической геометрии.

Мо́дуль над кольцо́м — обобщение понятия векторного пространства с полей на кольца. Одно из основных понятий общей алгебры.

Нильпотентный элемент — элемент кольца, некоторая степень которого обращается в ноль.

Нильрадикал коммутативного кольца — идеал, состоящий из всех его нильпотентных элементов.

Нильпотентный идеал — идеал $\text{[math]}$ кольца $\text{[math]}$ , для которого существует натуральное число $\text{[math]}$ , такое, что $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ — аддитивная подгруппа, порождённая множеством всех произведений из $\text{[math]}$ элементов идеала $\text{[math]}$ , то есть идеал нильпотентен тогда и только тогда, когда существует натуральное число $\text{[math]}$ , такое, что произведение любых $\text{[math]}$ элементов идеала $\text{[math]}$ равно 0. Наибольший интерес понятие нильпотентного идеала представляет для случая некоммутативных колец.

Простой идеал — естественное обобщение понятия простого числа в теории колец.

Факторкольцо́ — общеалгебраическая конструкция, позволяющая распространить на случай колец конструкцию факторгруппы. Любое кольцо является группой по сложению, поэтому можно рассмотреть её подгруппу и взять факторгруппу. Однако для того, чтобы на этой факторгруппе можно было корректно определить умножение, необходимо, чтобы исходная подгруппа была замкнута относительно умножения на произвольные элементы кольца, то есть являлась идеалом.

Факториа́льное кольцо́ — область целостности, в которой каждый ненулевой элемент x либо обратим, либо однозначно представляется в виде произведения неприводимых элементов x = p₁ ⋯ p_n (n ≥ 1), с точностью до перестановки сомножителей и умножения на обратимый элемент (аналогично разложению целого числа на простые). Факториальные кольца часто называются гауссовыми в честь Гаусса.

Теоре́ма Ги́льберта о нуля́х — теорема, устанавливающая фундаментальную взаимосвязь между геометрией и алгеброй. Использование этой взаимосвязи является основой алгебраической геометрии.

Спектр кольца в математике — множество всех простых идеалов данного коммутативного кольца. Обычно спектр снабжается топологией Зарисского и пучком коммутативных колец, что делает его локально окольцованным пространством. Спектр кольца $\text{[math]}$ обозначается $\text{[math]}$ .

Ба́наховой алгеброй над комплексным или действительным полем называется ассоциативная алгебра, являющаяся при этом банаховым пространством. При этом умножение в ней должно быть согласовано с нормой:

\text{[math]}

В коммутативной алгебре идеал Q коммутативного кольца A называется примарным, если он не совпадает со всем кольцом, и для любого элемента Q вида xy либо x, либо yⁿ для некоторого n>0 также является элементом Q. Например, в кольце целых чисел Z идеал примарен тогда и только тогда, когда он имеет вид (pⁿ), где p — простое число.

Коммутативное кольцо — кольцо, в котором операция умножения коммутативна. Изучением свойств коммутативных колец занимается коммутативная алгебра.

Размерность Крулля — числовая характеристика коммутативных колец, наибольшая длина цепочки вложенных друг в друга простых идеалов данного кольца. Не обязательно является конечной даже для нётеровых колец.

Кольцо многочленов — кольцо, образованное многочленами от одной или нескольких переменных с коэффициентами из другого кольца. Изучение свойств колец многочленов оказало большое влияние на многие области современной математики; можно привести примеры теоремы Гильберта о базисе, конструкции поля разложения и изучения свойств линейных операторов.

В общей алгебре, дедекиндово кольцо — это целостное кольцо, в котором каждый ненулевой собственный идеал раскладывается в произведение простых идеалов. Можно показать, что в этом случае разложение единственно с точностью до порядка сомножителей. Ниже приведено несколько других описаний дедекиндовых колец, которые можно принять за определение.

В коммутативной алгебре, дробный идеал — это обобщение понятия идеала целостного кольца, особенно полезное при изучении дедекиндовых колец. Условно говоря, дробные идеалы — это идеалы со знаменателями. В случаях, когда одновременно обсуждаются дробные и обычные идеалы, последние называют целыми идеалами.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.