Для любого компактного трёхмерного многообразия существует поверхность , разрезающая на два тела с ручками, то есть на многообразия, гомеоморфные замкнутой области евклидова пространства, ограниченной поверхностью.
Род поверхности называется родом разбиения. Разбиение называется минимальным, если не допускает разбиения меньшего рода. Минимальное значение рода поверхности называется родом Хегора многообразия .
Примеры
Трёхмерная сфера допускает разбиение Хегора рода ноль. Иначе говоря, 2-мерная сфера разрезает на два шара.
Более того, все многообразия, допускающие разбиение Хегора рода ноль, гомеоморфны.
Вложенный тор разбивает сферу на два полнотория, это даёт другое разбиение Хегора рода 1. (См. также расслоение Хопфа.)
Линзовые пространства допускают разбиение Хегора рода один. Иначе говоря, любое линзовое пространство можно разрезать тором на два полнотория.
Свойства
Лемма Александера: с точностью до изотопии, существует единственное (кусочно-линейное) вложение двумерной сферы в трёхмерную сферу.
Эту теорему можно переформулировать следующим образом: трёхмерная сфера допускает единственное разбиение Хегора рода ноль.
Теорема Вальдхаузена[2]: каждое разбиение получается из разбиения рода ноль путём операции связной суммы с разбиением сферы рода 1.
Теорема Райдемейстера — Зингера: для любой пары разбиений и многообразия существует третье разбиение , которое является стабилизацией обоих. То есть можно получить из и путём взятия связной суммы с разбиением рода 1.
Любая минимальная поверхность в трёхмерном римановом многообразии положительной кривизны задаёт разложение Хегора.
Литература
Математическая энциклопедия. М.: 197* — 1985, том 5, стр.780. (Разбиение Хегора.)
Фоменко, А.Т. Геометрия и топология. Наглядная геометрия и топология. М. 1992. (Глава 2. Многообразия малой размерности.)
Дикий узел — патологическое вложение окружности в пространство.
Теорема Лиувилля о конформных отображениях утверждает, что
Теория узлов — изучение вложений одномерных многообразий в трёхмерное евклидово пространство или в сферу . В более широком смысле предметом теории узлов являются вложения сфер в многообразия и вложения многообразий в целом.
Многообра́зие — локально евклидово пространство.
Поверхность Зейферта — вложенная в трёхмерное пространство поверхность, краем которой является данный узел или зацепление. Названа в честь Герберта Зейферта и является полезным инструментом в теории узлов.
Тривиальный узел — геометрический узел, объемлюще-изотопный стандартному вложению окружности в трёхмерную сферу, а также объемлюще-изотопический класс такого геометрического узла.
Полното́рие (полното́рий) — трёхмерная фигура, ограниченная тором, а также топологическое пространство, гомеоморфное этой фигуре, то есть прямое произведение двумерного диска и окружности. Неформально, полноторие — бублик, тогда как тор — только его поверхность.
Уильям Пол Тёрстон — американский математик, один из пионеров маломерной топологии, лауреат премии Филдса (1982).
Слоение коразмерности 1 — это разбиение многообразия на непересекающиеся подмножества которые локально выглядят как поверхности уровня гладких регулярных функций.
Трёхмерная сфе́ра — сфера в четырёхмерном пространстве. Состоит из множества точек, равноудалённых от фиксированной центральной точки в четырёхмерном евклидовом пространстве. Так же, как двумерная сфера, которая образует границу шара в трёх измерениях, 3-сфера имеет три измерения и является границей четырёхмерного шара.
Многообразие Уайтхеда — определённый пример открытого трёхмерного многообразия, являющегося стягиваемым, но не гомеоморфным . Пример был найден Генри Уайтхедом в 1935 году при попытке решить гипотезу Пуанкаре.
CW-комплекс — тип топологического пространства с дополнительной структурой, введённый Уайтхедом для удовлетворения нужд теории гомотопий. В литературе на русском языке употребляются также названия клеточное пространство, клеточное разбиение и клеточный комплекс. Класс клеточных комплексов является более широким, чем класс симплициальных комплексов, но в то же время сохраняет комбинаторную природу, которая позволяет производить эффективные вычисления.
У́зел в математике — вложение окружности в трёхмерное евклидово пространство, рассматриваемое с точностью до изотопии. Основной предмет изучения теории узлов. Два узла считаются эквивалентными, если они изотопны, то есть один из них можно непрерывно продеформировать в другой, причём в процессе деформации не должно возникать самопересечений.
Тело с ручками — тело в трёхмерном евклидовом пространстве ограниченное замкнутой поверхностью.
-многообразие — семимерное риманово многообразие с группой голономий или её подгруппой. Они имеют важное значение в теории струн, в частности в М-теории.
Разложение на ручкиm-многообразия M — это фильтрация
Трёхмерное многообразие — топологическое пространство, локально устроенное как трёхмерное евклидово пространство . Иными словами, многообразие размерности три. Является центральным понятием трёхмерной топологии.
Трёхмерная топология — раздел топологии, посвященный изучению трёхмерных многообразий. Относится к маломерной топологии.
Дополнение узла — пространство, получающееся из шара вырезанием цилиндра, заузленного в форме этого узла.
Маломерная топология — направление в топологии, изучающее многообразия или, в более общем смысле, топологические пространства четырёх или менее размерностей. В частности, к направлению относятся структурная теория 3-многообразий и 4-многообразий, теория узлов и теория кос. Направление можно рассматривать как часть геометрической топологии.
Эта страница основана на статье Википедии. Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия. Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.
