Разбиение единицы

Разбиение единицы — конструкция, используемая в топологии для удобства работы с многообразием как с множеством карт.

С помощью разбиения единицы определяется, в частности, интеграл от дифференциальной формы на многообразии.

Пусть дано открытое покрытие топологического пространства ${\displaystyle M}$ открытыми множествами ${\displaystyle D_{\alpha }}$. Разбиением единицы, подчиненным покрытию ${\displaystyle \{D_{\alpha }\}}$, называется набор неотрицательных непрерывных вещественных функций ${\displaystyle f_{\beta }}$ на ${\displaystyle M}$, обладающих следующими свойствами:

• ${\displaystyle 0\leqslant f_{\beta }\leqslant 1.}$
• Носитель каждой из функций ${\displaystyle f_{\beta }}$ целиком содержится в одном из множеств ${\displaystyle D_{\alpha }}$.
• Для любой точки ${\displaystyle x\in M}$ имеем ${\displaystyle \sum _{\beta }{f_{\beta }(x)=1}}$ (то есть при любом ${\displaystyle x\in M}$ для не более, чем счётного множества функций ${\displaystyle f_{\beta }(x)}$ отлично от нуля и ряд ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{f_{\beta _{i}}(x)}}$, где ${\displaystyle \{\beta _{1},\beta _{2},...\}=\{\beta :f_{\beta }(x)\neq 0\}}$ сходится к 1. Этот ряд абсолютно сходится, поэтому сумма ряда не зависит от порядка членов).

Если для любой точки ${\displaystyle x\in M}$ существует окрестность ${\displaystyle W\ni x}$, такая что пересечение ${\displaystyle W\cap \mathrm {supp} \,f_{\beta }}$ непусто не более чем для конечного числа индексов ${\displaystyle \beta }$, то такое разбиение единицы называется локально конечным.

• Для всякого открытого покрытия паракомпактного T₁-пространства существует подчинённое ему локально конечное разбиение единицы. Обратно, если для всякого открытого покрытия ${\displaystyle T_{1}}$-пространства существует подчинённое ему разбиение единицы, то это пространство паракомпактно.
• Для всякого открытого покрытия ${\displaystyle C^{\infty }}$-многообразия, существует подчинённое покрытию конечное или счётное локально конечное разбиение единицы, состоящее из функций класса ${\displaystyle C^{\infty }}$.

Энгелькинг Р. Общая топология / перевод М.Я.Антоновского и А.В.Архангельского. — М.: Мир, 1986. — 752 с.

Ж. де Рам. Дифференцируемые многообразия / перевод Д.А.Василькова. — М.: иностранной литературы, 1956. — 250 с.