Разделение секрета

Разделение секрета (англ. secret sharing) — термин в криптографии, под которым понимают любой из способов распределения секрета среди группы участников, каждому из которых достаётся своя некая доля. Секрет может воссоздать только коалиция участников из первоначальной группы, причём входить в коалицию должно не менее некоторого изначально известного их числа.

Схемы разделения секрета применяются в случаях, когда существует значимая вероятность компрометации одного или нескольких хранителей секрета, но вероятность недобросовестного сговора значительной части участников считается пренебрежимо малой.

Существующие схемы имеют две составляющие: разделение и восстановление секрета. К разделению относится формирование частей секрета и распределение их между членами группы, что позволяет разделить ответственность за секрет между её участниками. Обратная схема должна обеспечить его восстановление при условии доступности его хранителей в некотором необходимом количестве^[1].

Пример использования: протокол тайного голосования на основе разделения секрета^[2].

Пусть имеется группа из ${\displaystyle t}$ человек и сообщение ${\displaystyle s}$ длины ${\displaystyle n}$, состоящее из двоичных символов. Если подобрать случайным образом такие двоичные сообщения ${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{t}}$, что в сумме они будут равняться ${\displaystyle s}$, и распределить эти сообщения между всеми членами группы, получится, что прочесть сообщение будет возможно только в случае, если все члены группы соберутся вместе^[1].

В такой схеме есть существенная проблема: в случае утраты хотя бы одного из членов группы секрет будет утерян для всей группы безвозвратно.

В отличие от процедуры разбиения секрета, где ${\displaystyle t=n}$, в процедуре разделения секрета количество долей, которые нужны для восстановления секрета, может отличаться от того, на сколько долей секрет разделён. Такая схема носит названия пороговой схемы ${\displaystyle \left(t,n\right)}$, где ${\displaystyle n}$ — количество долей, на которые был разделён секрет, а ${\displaystyle t}$ — количество долей, которые нужны для восстановления секрета. Идеи схем ${\displaystyle t\neq n}$ были независимо предложены в 1979 году Ади Шамиром и Джорджем Блэкли. Кроме этого, подобные процедуры исследовались Гусом Симмонсом^[3][4][5].

Если коалиция участников такова, что они имеют достаточное количество долей для восстановления секрета, то коалиция называется разрешённой. Схемы разделения секрета, в которых разрешённые коалиции участников могут однозначно восстановить секрет, а неразрешённые не получают никакой апостериорной информации о возможном значении секрета, называются совершенными^[6].

Идея схемы заключается в том, что двух точек достаточно для задания прямой, трех точек — для задания параболы, четырёх точек — для кубической параболы, и так далее. Чтобы задать многочлен степени ${\displaystyle k}$, требуется ${\displaystyle k+1}$ точек.

Для того, чтобы после разделения секрет могли восстановить только ${\displaystyle k}$ участников, его «прячут» в формулу многочлена степени ${\displaystyle (k-1)}$ над конечным полем ${\displaystyle G}$. Для однозначного восстановления этого многочлена необходимо знать его значения в ${\displaystyle k}$ точках, причем, используя меньшее число точек, однозначно восстановить исходный многочлен не получится. Количество же различных точек многочлена не ограничено (на практике оно ограничивается размером числового поля ${\displaystyle G}$, в котором ведутся расчёты).

Кратко данный алгоритм можно описать следующим образом. Пусть дано конечное поле ${\displaystyle G}$. Зафиксируем ${\displaystyle n}$ различных ненулевых несекретных элементов данного поля. Каждый из этих элементов приписывается определённому члену группы. Далее выбирается произвольный набор из ${\displaystyle t}$ элементов поля ${\displaystyle G}$, из которых составляется многочлен ${\displaystyle f(x)}$ над полем ${\displaystyle G}$ степени ${\displaystyle t-1,1<t\leq n}$. После получения многочлена вычисляем его значение в несекретных точках и сообщаем полученные результаты соответствующим членам группы^[1].

Чтобы восстановить секрет, можно воспользоваться интерполяционной формулой, например формулой Лагранжа.

Важным достоинством схемы Шамира является то, что она легко масштабируема^[5]. Чтобы увеличить число пользователей в группе, необходимо лишь добавить соответствующее число несекретных элементов к уже существующим, при этом должно выполняться условие ${\displaystyle r_{i}\neq r_{j}}$ при ${\displaystyle i\neq j}$. В то же время, компрометация одной части секрета переводит схему из ${\displaystyle (n,t)}$-пороговой в ${\displaystyle (n-1,t-1)}$-пороговую.

Две непараллельные прямые на плоскости пересекаются в одной точке. Любые две некомпланарные плоскости пересекаются по одной прямой, а три некомпланарные плоскости в пространстве пересекаются тоже в одной точке. Вообще n n-мерных гиперплоскостей всегда пересекаются в одной точке. Одна из координат этой точки будет секретом. Если закодировать секрет как несколько координат точки, то уже по одной доле секрета (одной гиперплоскости) можно будет получить какую-то информацию о секрете, то есть о взаимозависимости координат точки пересечения.

Схема Блэкли в трёх измерениях: каждая доля секрета — это плоскость, а секрет — это одна из координат точки пересечения плоскостей. Двух плоскостей недостаточно для определения точки пересечения.

С помощью схемы Блэкли^[4] можно создать (t, n)-схему разделения секрета для любых t и n: для этого надо использовать размерность пространства, равную t, и каждому из n игроков дать одну гиперплоскость, проходящую через секретную точку. Тогда любые t из n гиперплоскостей будут однозначно пересекаться в секретной точке.

Схема Блэкли менее эффективна, чем схема Шамира: в схеме Шамира каждая доля такого же размера, как и секрет, а в схеме Блэкли каждая доля в t раз больше. Существуют улучшения схемы Блэкли, позволяющие повысить её эффективность.

В 1983 году Морис Миньотт^[англ.], Асмут и Блум предложили две схемы разделения секрета, основанные на китайской теореме об остатках. Для некоторого числа (в схеме Миньотта это сам секрет, в схеме Асмута — Блума — некоторое производное число) вычисляются остатки от деления на последовательность чисел, которые раздаются сторонам. Благодаря ограничениям на последовательность чисел, восстановить секрет может только определённое число сторон^[7][8].

Пусть количество пользователей в группе равно ${\displaystyle n}$. В схеме Миньотта выбирается некоторое множество попарно взаимно простых чисел ${\displaystyle \{m_{1},m_{2},...,m_{n}\}}$ таких, что произведение ${\displaystyle k-1}$ наибольших чисел меньше, чем произведение ${\displaystyle k}$ наименьших из этих чисел. Пусть эти произведения равны ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$, соответственно. Число ${\displaystyle k}$ называется порогом для конструируемой схемы по множеству ${\displaystyle \{m_{1},m_{2},...,m_{n}\}}$. В качестве секрета выбирается число ${\displaystyle S}$ такое, для которого выполняется соотношение ${\displaystyle M<S<N}$. Части секрета распределяются между участниками группы следующим образом: каждому участнику выдается пара чисел ${\displaystyle (r_{i},m_{i})}$, где ${\displaystyle r_{i}\equiv S{\pmod {m_{i}}}}$.

Чтобы восстановить секрет, необходимо объединить ${\displaystyle t\geq k}$ фрагментов. В этом случае получим систему сравнений вида ${\displaystyle x\equiv r_{i}{\pmod {m_{i}}}}$, множество решений которой можно найти, используя китайскую теорему об остатках. Секретное число ${\displaystyle S}$ принадлежит этому множеству и удовлетворяет условию ${\displaystyle S<m_{1}\cdot m_{2}\cdot ...\cdot m_{t}}$. Также несложно показать, что если число фрагментов меньше ${\displaystyle k}$, то, чтобы найти секрет ${\displaystyle S}$, необходимо перебрать порядка ${\displaystyle {\frac {N}{M}}}$ целых чисел. При правильном выборе чисел ${\displaystyle m_{i}}$ такой перебор практически невозможно реализовать. К примеру, если разрядность ${\displaystyle m_{i}}$ будет от 129 до 130 бит, а ${\displaystyle k<15}$, то соотношение ${\displaystyle {\frac {N}{M}}}$ будет иметь порядок ${\displaystyle 2^{100}}$^[9].

Схема Асмута — Блума является доработанной схемой Миньотта. В отличие от схемы Миньотта, её можно построить в таком виде, чтобы она была совершенной^[10].

В 1983 году Карнин, Грин и Хеллман предложили свою схему разделения секрета, которая основывалась на невозможности решить систему с ${\displaystyle m}$ неизвестными, имея менее ${\displaystyle m}$ уравнений^[11].

В рамках данной схемы выбираются ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle m}$-мерных векторов ${\displaystyle V_{0},V_{1},...,V_{n}}$ так, чтобы любая матрица размером ${\displaystyle m\times m}$, составленная из этих векторов, имела ранг ${\displaystyle m}$. Пусть вектор ${\displaystyle U}$ имеет размерность ${\displaystyle m}$.

Секретом в схеме является матричное произведение ${\displaystyle U^{T}V_{0}}$. Долями секрета являются произведения ${\displaystyle U^{T}V_{i},1\leq i\leq n}$.

Имея любые ${\displaystyle m}$ долей, можно составить систему линейных уравнений размерности ${\displaystyle m\times m}$, неизвестными в которой являются коэффициенты ${\displaystyle U}$. Решив данную систему, можно найти ${\displaystyle U}$, а имея ${\displaystyle U}$, можно найти секрет. При этом система уравнений не имеет решения в случае, если долей меньше, чем ${\displaystyle m}$^[12].

Существуют несколько способов нарушить протокол работы пороговой схемы:

• владелец одной из долей может помешать восстановлению общего секрета, отдав в нужный момент неверную (случайную) долю^[13].
• злоумышленник, не имея доли, может присутствовать при восстановлении секрета. Дождавшись оглашения нужного числа долей, он быстро восстанавливает секрет самостоятельно и генерирует ещё одну долю, после чего предъявляет её остальным участникам. В результате он получает доступ к секрету и остаётся непойманным^[14].

Также существуют другие возможности нарушения работы, не связанные с особенностями реализации схемы:

• злоумышленник может сымитировать ситуацию, при которой необходимо раскрытие секрета, тем самым выведав доли участников^[14].

• Проверяемое разделение секрета
• Схемы разделения секрета для произвольных структур доступа

• Шнайер Б. 3.7. Разделение секрета // Прикладная криптография. Протоколы, алгоритмы, исходные тексты на языке Си = Applied Cryptography. Protocols, Algorithms and Source Code in C. — М.: Триумф, 2002. — С. 93—96. — 816 с. — 3000 экз. — ISBN 5-89392-055-4.
• Шнайер Б. 23.2 Алгоритмы разделения секрета // Прикладная криптография. Протоколы, алгоритмы, исходные тексты на языке Си = Applied Cryptography. Protocols, Algorithms and Source Code in C. — М.: Триумф, 2002. — С. 588—591. — 816 с. — 3000 экз. — ISBN 5-89392-055-4.

• Blakley G. R. Safeguarding cryptographic keys (англ.) // Proceedings of the 1979 AFIPS National Computer Conference — Montvale: AFIPS Press, 1979. — P. 313—317. — doi:10.1109/AFIPS.1979.98
• Shamir A. How to share a secret (англ.) // Communications of the ACM — New York City: Association for Computing Machinery, 1979. — Vol. 22, Iss. 11. — P. 612—613. — ISSN 0001-0782 — doi:10.1145/359168.359176
• Mignotte M. How to Share a Secret (англ.) // Cryptography: Proceedings of the Workshop on Cryptography Burg Feuerstein, Germany, March 29–April 2, 1982 / T. Beth — Berlin, Heidelberg, New York City, London: Springer Berlin Heidelberg, 1983. — P. 371—375. — (Lecture Notes in Computer Science; Vol. 149) — ISBN 978-3-540-11993-7 — ISSN 0302-9743; 1611-3349 — doi:10.1007/3-540-39466-4_27
• Asmuth C., Bloom J. A modular approach to key safeguarding (англ.) // IEEE Transactions on Information Theory / F. Kschischang — IEEE, 1983. — Vol. 29, Iss. 2. — P. 208—210. — ISSN 0018-9448; 1557-9654 — doi:10.1109/TIT.1983.1056651
• Karnin E. D., Greene J. W., Hellman M. E. On Secret Sharing Systems (англ.) // IEEE Transactions on Information Theory / F. Kschischang — IEEE, 1983. — Vol. 29, Iss. 1. — P. 35—41. — ISSN 0018-9448; 1557-9654 — doi:10.1109/TIT.1983.1056621
• Блэкли Д., Кабатянский Г. А. Обобщенные идеальные схемы, разделяющие секрет, и матроиды // Теория информации и теория кодирования — 1997. — Т. 33, вып. 3. — С. 102—110.
• Schoenmakers B. A Simple Publicly Verifiable Secret Sharing Scheme and Its Application to Electronic Voting (англ.) // Advances in Cryptology — CRYPTO’ 99: 19th Annual International Cryptology Conference Santa Barbara, California, USA, August 15–19, 1999 Proceedings / M. Wiener — Springer Berlin Heidelberg, 1999. — P. 148—164. — ISBN 978-3-540-66347-8 — doi:10.1007/3-540-48405-1_10
• Алферов А. П., Зубов А. Ю., Кузьмин А. С., Черемушкин А. В. Основы криптографии: Учебное пособие — 2-е изд., испр. и доп. — М.: Гелиос АРВ, 2002. — ISBN 978-5-85438-137-6
• Молдовян Н. А., Молдовян А. А. Введение в криптосистемы с открытым ключом — СПб.: БХВ-Петербург, 2005. — 288 с. — (учебное пособие) — ISBN 978-5-94157-563-3
• Pasailă D., Alexa V., Iftene S. Cheating Detection and Cheater Identification in CRT-based Secret Sharing Schemes (англ.) // International Journal of Computing — 2010. — Vol. 9, Iss. 2. — P. 107—117. — ISSN 2312-5381; 1727-6209
• Шенец Н. Н. Об идеальных модулярных схемах разделения секрета в кольцах многочленов от нескольких переменных // Международный конгресс по информатике: информационные системы и технологии: материалы международного научного конгресса 31 окт. — Минск: БГУ, 2011. — Т. 1. Статьи факультета прикладной математики и информатики. — С. 169—173. — ISBN 978-985-518-563-6