Размерность Крулля

Размерность Крулля — числовая характеристика коммутативных колец, наибольшая длина цепочки вложенных друг в друга простых идеалов данного кольца. Не обязательно является конечной даже для нётеровых колец.

Размерность Крулля позволяет сформулировать чисто алгебраическое определение размерности алгебраического многообразия: размерность аффинного алгебраического многообразия, заданного идеалом ${\displaystyle I}$ в кольце многочленов ${\displaystyle R}$ — это размерность Крулля факторкольца ${\displaystyle R/I}$.

Длина цепочки простых идеалов вида:

${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}}$

принимается за ${\displaystyle n}$, то есть считается число строгих включений, а не число идеалов. Размерность Крулля кольца ${\displaystyle R}$ — это максимум длины по множеству всех цепочек простых идеалов ${\displaystyle R}$.

Для простого идеала ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ можно определить его коразмерность (также называют высотой или рангом), обозначаемую ${\displaystyle \operatorname {codim} ({\mathfrak {p}})}$, как максимальную длину цепочки простых идеалов вида ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}\subseteq {\mathfrak {p}}}$.

• Размерность произвольного поля равна нулю, более общо, размерность кольца многочленов k[x₁, …, x_n] равна n. Более того, если R — нётерово кольцо, размерность которого равна n, то размерность кольца R[x] равна n+1. Без гипотезы нётеровости размерность R[x] может находиться в пределах от n+1 до 2n+1.
• Размерность любого кольца главных идеалов равна 1.
• Целостное кольцо является полем тогда и только тогда, когда его размерность равна нулю. Дедекиндовы кольца, не являющиеся полями, имеют размерность 1.
• Нётерово кольцо является артиновым тогда и только тогда, когда его размерность равна нулю.
• Целое расширение кольца имеет ту же размерность, что и исходное кольцо.
• Размерность Крулля кольца R равна размерности его спектра как топологического пространства, то есть максимальной длине цепочки неприводимых замкнутых подмножеств.

Если R — коммутативное кольцо и M — R-модуль, размерность Крулля M определяется как размерность Крулля факторкольца по аннулятору модуля:

${\displaystyle \operatorname {dim} _{R}M:=\operatorname {dim} (R/\operatorname {Ann} _{R}(M))}$

где Ann_R(M) — это ядро естественного отображения R → End_R(M) (сопоставляющего элементу кольца умножение на этот элемент).

Высота простого идеала ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ коммутативного кольца ${\displaystyle R}$ — это супремум длин цепочек➤ простых идеалов, содержащихся в ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$. Например, высота простого идеала, не содержащего других простых идеалов, равна 0. Размерность Крулля кольца ${\displaystyle R}$ можно определить как супремум высоты по множеству простых идеалов.

В случае нётерова коммутативного кольца, согласно теореме Крулля, высота идеала, порождённого n элементами, не превосходит n.

Определение высоты можно распространить на произвольные идеалы, определив высоту идеала как минимум высот простых идеалов, содержащих данный идеал.

• Регулярное локальное кольцо
• Лемма Нётер о нормализации

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — Факториал Пресс, 2003 — ISBN 5-88688-067-4.
• Irving Kaplansky, Commutative rings (revised ed.), University of Chicago Press, 1974, — ISBN 0-226-42454-5. Page 32.
• Eisenbud, David (1995), Commutative algebra with a view toward algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960