Раскраска области определения

Раскраска области определения — это техника визуализации комплексных функций, которая назначает цвет каждой точке комплексной плоскости.

Мотивация: четырёхмерная размерность

График вещественной функции можно нарисовать в плоскости с координатами x и y. В отличие от вещественных функций, граф комплексной функции (точнее, функции с комплексными значениями от одной комплексной переменной $g:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ ) требует визуализацию в четырёхмерном пространстве. Один из способов достижения этого — римановы поверхности, другая возможность — раскраска области определения.

Метод

Для лучшего отображения комплексные значения представляются цветом. Такое сопоставление называется «функцией цвета». Используется много различных функций цвета. Обычная практика — представлять комплексный аргумент^[англ.] (известный также как «фаза») цветом из цветового круга, а модуль (или амплитуду) яркостью или насыщенностью.

Простая функция цвета

Следующий пример функции цвета имеет чёрный цвет в нуле, красный в 1, голубой в −1 и белый на бесконечности:

{\begin{aligned}H&=\arg z,\\L&=\left(1-2^{-\left|z\right|}\right)\times 100\%,\\S&=100\%.\end{aligned}}

Более точно, функция использует цветовую модель HSL (hue, saturation, lightness = цвет, насыщенность, яркость). Насыщенность всегда имеет максимум в 100 %. Цвета радуги размещаются по кругу на единичной комплексной окружности, так что шесть корней из единицы (начиная с 1) получают цвета: красный, жёлтый, зелёный, голубой, синий и фиолетовый. Модуль (амплитуда) кодируется интенсивностью посредством строго монотонной непрерывной функции.

Поскольку модель HSL не является сенсорно однородной, можно видеть полоски сенсорной яркости жёлтого, голубого и фиолетового цвета (хотя абсолютные значения те же самые, что и у красного, зелёного и синего цвета) и эффект гало вокруг $L={\tfrac {1}{2}}$ . Использование LAB корректирует эти эффекты, делая образы более аккуратными, но делает их также более тусклыми/пастельными.

Структурная функция цвета

Модуль (амплитуда) вещественного числа может меняться от 0 до ∞, существенно более широко, чем аргумент (фаза). Поэтому функция цвета сжимает всё множество значений в небольшой разброс амплитуды. Это можно сделать с помощью разрывной функции цвета, имеющей повторяющийся набор значений.

Кроме того, эта функция цвета показывает белые лучи для аргументов 0, π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π, 7π/6, 4π/3, 3π/2, 5π/3, 11π/6 и серую решётку для равных вещественных и мнимых значений. Подобная функция цвета использована в графике в начале статьи.

История

Вероятно, первое применение метода было в публикации Ларри Крона и Ханса Ландмарка в конце 1980-х^[1].

Термин «раскраска области определения» предложил Франк Харрис около 1998 года^[2]^[3]. Было много более ранних применений использования цвета для визуализации комплексных функций, которые, обычно, отражали аргумент^[англ.] (фазу) цветом^[4]. Техника использования непрерывного цвета для отображения точек из области определения в область значений или плоскость изображения использовали в 1999 Джорж Абдо и Пол Годфри ^[5], а цветные решётки использовал в графиках Дуглас Н. Арнольд в 1997^[6].

Ограничения

Люди, страдающие дальтонизмом, могут испытывать проблемы интерпретации таких графиков.

Фазовые диаграммы

Фазовые диаграммы являются специальной версией раскраски области определения. Всестороннее введение в фазовые диаграммы дано в книге Элиаса Вегерта^[1].

Примечания

↑ ¹ ² Wegert, 2012.
↑ Frank A. Farris, Visualizing complex-valued functions in the plane Архивная копия от 30 декабря 2012 на Wayback Machine
↑ Hans Lundmark. Visualizing complex analytic functions using domain coloring (неопр.) (2004). Дата обращения: 25 мая 2006. Архивировано из оригинала 2 мая 2006 года.. Ландмарк ссылается на принадлежность термина Фаррису в статье 2004 года.
↑ Rabenhorst, 1990, с. 42.
↑ George Abdo & Paul Godfrey. Plotting functions of a complex variable: Table of Conformal Mappings Using Continuous Coloring (неопр.) (1999). Дата обращения: 17 мая 2008. Архивировано из оригинала 16 марта 2020 года.
↑ Douglas N. Arnold. Graphics for complex analysis (неопр.) (2008). Дата обращения: 17 мая 2008. Архивировано 24 сентября 2015 года.