Распределение Трейси — Видома

Перейти к навигацииПерейти к поиску
Вид функций плотности вероятности распределений Трейси — Видома F1, F2 и F4

Распределение Трейси — Видома — статистическое распределение, введённое Крэйгом Трейси[вд] и Гарольдом Видомом для описания нормированного наибольшего собственного значения случайной эрмитовой матрицы[1].

В прикладном отношении, распределение Трейси — Видома — это функция перехода между двумя фазами системы: со слабосвязанными и с сильносвязанными компонентами[2]. Оно также возникает как распределение длины наибольшей увеличивающейся подпоследовательности случайных перестановок[3], во флуктуациях потока асимметричного процесса с простыми исключениями (ASEP)[вд] с шаговым начальным условием[4][5] и в упрощённых математических моделях поведения в задаче о наибольшей общей подпоследовательности случайных вводов[6][7].

Распределение F1 особенно интересно с точки зрения многомерной статистики[вд] [8][9][10][11].

Определение

Распределение Трейси — Видома определяется как предел[12]

где  — наибольшее собственное число случайной матрицы стандартного (для компонентов матрицы ) гауссова ансамбля: при β=1 — ортогонального, при β=2 — унитарного, при β=4 — симплектического. Сдвиг используется, чтобы центрировать распределение в точке 0. Множитель используется, поскольку стандартное отклонение распределения масштабируется как .

Эквивалентные представления

Кумулятивная функция распределения Трейси — Видома для унитарных ансамблей () может быть представлена как фредгольмов определитель[вд]

оператора на интегрируемой с квадратом функции на луче ядром в понятиях функций Эйри через

Также её можно представить интегралом

через решение уравнения Пенлеве[вд] II

где , называемое решением Гастингса—Мак-Леода, удовлетворяет граничным условиям:

Другие распределения Трейси — Видома

Распределения Трейси — Видома и для ортогональных () и симплектических () ансамблей также выразимы через трансцендент Пенлеве[вд] [13]:

и

Существует расширение этого определения на случаи при всех [14].

Численные приближения

Численные методы получения приближённых решений уравнений Пенлеве II и Пенлеве V и численно определённые распределения собственных значений случайных матриц в бета-ансамблях впервые были представлены в 2005 году[15] (использовался MATLAB). Эти приближённые методы позднее были аналитически уточнены[16] и используются для получения численного анализа Пенлеве II и распределений Трейси — Видома (для ) в S-PLUS. Эти распределения были табулированы[16] до четырёх значащих цифр по значениям аргумента с шагом 0.01; в работе также присутствовала статистическая таблица p-значений. В 2009 году[17] даны точные и быстрые алгоритмы численного определения и функций плотности для . По этим алгоритмам можно численно подсчитать среднее значение, дисперсию, асимметрию и эксцесс распределений .

β Среднее Дисперсия Коэффициент
асимметрии
Эксцесс
1 −1.2065335745820 1.607781034581 0.29346452408 0.1652429384
2 −1.771086807411 0.8131947928329 0.224084203610 0.0934480876
4 −2.306884893241 0.5177237207726 0.16550949435 0.0491951565

Функции для работы с законами Трейси — Видома также представлены в пакете для R RMTstat[18] и в пакете для MATLAB RMLab[19].

Вычислено также простое приближение на основе смещённых гамма-распределений[20].

Примечания

  1. Dominici, D. (2008) Special Functions and Orthogonal Polynomials American Math. Soc.
  2. Mysterious Statistical Law May Finally Have an Explanation. wired.com (27 октября 2014). Дата обращения: 30 сентября 2017. Архивировано 17 июля 2017 года.
  3. Baik, Deift, Johansson, 1999.
  4. Johansson, 2000.
  5. Tracy, Widom, 2009.
  6. Majumdar, Nechaev, 2005.
  7. См. в Takeuchi & Sano, 2010, Takeuchi et al., 2011 экспериментальную проверку (и подтверждение) того, что флуктуации поверхности раздела растущей капельки (или основы) описываются распределением Трейси — Видома (или ) так, как это предсказано в (Prähofer & Spohn, 2000)
  8. Johnstone, 2007.
  9. Johnstone, 2008.
  10. Johnstone, 2009.
  11. Обсуждение универсальности , , см. в Deift (2007). О приложении F1 к выведению популяционной структуры из генетических данных см. Patterson, Price & Reich (2006)
  12. Tracy, C. A.; Widom, H. (1996), "On orthogonal and symplectic matrix ensembles" (PDF), Communications in Mathematical Physics, 177 (3): 727—754, Bibcode:1996CMaPh.177..727T, doi:10.1007/BF02099545, MR 1385083, Архивировано из оригинала (PDF) 20 декабря 2014, Дата обращения: 14 января 2015
  13. Tracy, Widom, 1996.
  14. Ramírez, Rider, Virág, 2006.
  15. Edelman, Persson, 2005.
  16. 1 2 Bejan, 2005.
  17. Bornemann, 2010.
  18. Johnstone, Ma, Perry, Shahram, 2009.
  19. Dieng, 2006.
  20. Chiani, 2012.

Литература

Ссылки