Распределение Фишера

Распределение Фишера (Распределение Снедекора)
Плотность вероятности
Функция распределения
Обозначение	$F(d_{1},d_{2})$
Параметры	$d_{1}>0,\ d_{2}>0$ - числа степеней свободы
Носитель	$x\in [0;+\infty )$
Плотность вероятности	${\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}$
Функция распределения	$I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}(d_{1}/2,d_{2}/2)$
Математическое ожидание	${\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}$ , если $d_{2}>2$
Мода	${\frac {d_{1}-2}{d_{1}}}\;{\frac {d_{2}}{d_{2}+2}}$ , если $d_{1}>2$
Дисперсия	${\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}},$ если $d_{2}>4$
Коэффициент асимметрии	${\frac {(2d_{1}+d_{2}-2){\sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){\sqrt {d_{1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}},$ если $d_{2}>6$
Производящая функция моментов	не существует^[1]

Распределе́ние Фи́шера в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений.

Определение

Пусть $Y_{1},Y_{2}$ — две независимые случайные величины, имеющие распределение хи-квадрат: $Y_{i}\sim \chi ^{2}(d_{i})$ , где $d_{i}\in \mathbb {N} ,\;i=1,2$ . Тогда распределение случайной величины

F={\frac {Y_{1}/d_{1}}{Y_{2}/d_{2}}}

называется распределением Фишера (распределением Снедекора) со степенями свободы

d_{1}

d_{2}

. Пишут

F\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})

Моменты

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей распределение Фишера, имеют вид:

\mathbb {M} [F]={\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}

, если

d_{2}>2

\mathrm {D} [F]={\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}

, если

d_{2}>4

Свойства распределения Фишера

Если $F\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})$ , то ${\frac {1}{F}}\sim \mathrm {F} (d_{2},d_{1})$ .
Распределение Фишера сходится к единице. Доказательство:
если $F_{d_{1},d_{2}}\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})$ , то $F_{d_{1},d_{2}}\to \delta (x-1)$ по распределению при $d_{1},d_{2}\to \infty$ , где $\delta (x-1)$ — дельта-функция в единице, то есть распределение случайной величины-константы $X\equiv 1$ .

Связь с другими распределениями

Если $F_{d_{1},d_{2}}\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})$ , то случайные величины $d_{1}F_{d_{1},d_{2}}$ сходятся по распределению к $\chi ^{2}(d_{1})$ при $d_{2}\to \infty$ .

Примечания

↑ Johnson N. L., Kotz S., Balakrishnan N. Continuous Univariate Distributions, Volume 2 (Second Edition, Section 27).. — Wiley, 1995. — ISBN 0-471-58494-0.

Ссылки

Вероятностные распределения

Дискретные

Абсолютно
непрерывные

Похожие исследовательские статьи

Случайная величина — переменная, значения которой представляют собой численные исходы некоторого случайного феномена или эксперимента. Другими словами, это численное выражение результата случайного события. Случайная величина является одним из основных понятий теории вероятностей. Для обозначения случайной величины в математике принято использовать греческую букву «кси» $\text{[math]}$ . Если определять случайную величину более строго, то она является функцией $\text{[math]}$ , значения $\text{[math]}$ которой численно выражают исходы $\text{[math]}$ случайного эксперимента. Одним из требований к данной функции будет её измеримость, что служит для отсеивания тех случаев, когда значения данной функции $\text{[math]}$ бесконечно чувствительны к малейшим изменениям в исходах случайного эксперимента. Во многих практических случаях можно рассматривать случайную величину как произвольную функцию из $\text{[math]}$ в $\text{[math]}$ .

Корреля́ция, или корреляцио́нная зави́симость — статистическая взаимосвязь двух или более случайных величин, при этом изменения значений одной или нескольких из этих величин сопутствуют систематическому изменению значений другой или других величин.

Норма́льное распределе́ние, также называемое распределением Гаусса или Гаусса — Лапласа — распределение вероятностей, которое в одномерном случае задаётся функцией плотности вероятности, совпадающей с функцией Гаусса:

\text{[math]}

где параметр

\text{[math]}

— математическое ожидание, медиана и мода распределения, а параметр

\text{[math]}

— среднеквадратическое отклонение,

\text{[math]}

— дисперсия распределения.

Де́льта-фу́нкция — обобщённая функция, которая позволяет записать точечное воздействие, а также пространственную плотность физических величин, сосредоточенных или приложенных в одной точке.

Распределе́ние $\text{[math]}$ (хи-квадра́т) с $\text{[math]}$ степеня́ми свобо́ды — распределение суммы квадратов $\text{[math]}$ независимых стандартных нормальных случайных величин.

Экспоненциа́льное распределе́ние — абсолютно непрерывное распределение, моделирующее время между двумя последовательными свершениями одного и того же события.

Биномиа́льное распределе́ние с параметрами $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ в теории вероятностей — распределение количества «успехов» в последовательности из $\text{[math]}$ независимых случайных экспериментов, таких, что вероятность «успеха» в каждом из них постоянна и равна $\text{[math]}$ .

<span class="mw-page-title-main">Геометрическое распределение</span>

Геометри́ческое распределе́ние в теории вероятностей — распределение дискретной случайной величины равной количеству испытаний случайного эксперимента до наблюдения первого «успеха».

<span class="mw-page-title-main">Отрицательное биномиальное распределение</span>

Отрица́тельное биномиа́льное распределе́ние, также называемое распределением Паскаля — это распределение дискретной случайной величины, равной числу произошедших неудач в последовательности испытаний Бернулли с вероятностью успеха $\text{[math]}$ , проводимых до $\text{[math]}$ -го успеха.

Логарифмическое распределение в теории вероятностей — класс дискретных распределений. Логарифмическое распределение используется в различных приложениях, включая математическую генетику и физику.

Распределе́ние Пуассо́на — распределение дискретного типа случайной величины, представляющей собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.

Пло́тность вероя́тности — один из способов задания распределения случайной величины. Во многих практических приложениях понятия «плотность вероятности» и «плотность (распределения) случайной величины» или «функция распределения вероятностей» фактически синонимизируются и под ними подразумевается вещественная функция, характеризующая сравнительную вероятность реализации тех или иных значений случайной переменной (переменных).

Га́мма-распределе́ние в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Если параметр $\text{[math]}$ принимает целое значение, то такое гамма-распределение также называется распределе́нием Эрла́нга.

Логнорма́льное распределе́ние (логарифмически-нормальное) в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Если случайная величина имеет логнормальное распределение, то её логарифм имеет нормальное распределение.

Распределе́ние Стью́дента в теории вероятностей — это однопараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Уильям Сили Госсет первым опубликовал работы, посвящённые этому распределению, под псевдонимом «Стьюдент».

Распределе́ние Ве́йбулла в теории вероятностей — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений.

Выборочная (эмпири́ческая) фу́нкция распределе́ния в математической статистике — это приближение теоретической функции распределения, построенное с помощью выборки из него.

Функция неопределённости (ФН) — двумерная функция $\text{[math]}$ , представляющая собой зависимость величины отклика согласованного фильтра на сигнал, сдвинутый по времени на $\text{[math]}$ и по частоте на $\text{[math]}$ относительно сигнала $\text{[math]}$ , согласованного с этим фильтром. Иными словами, она характеризует степень различия откликов фильтра на сигналы с различной временной задержкой (дальность) и частотой. Используется для анализа разрешающей способности сигналов по дальности и радиальной скорости в радиолокации.

Количество степеней свободы — это количество значений в итоговом вычислении статистики, способных варьироваться. Иными словами, количество степеней свободы показывает размерность вектора из случайных величин, количество «свободных» величин, необходимых для того, чтобы полностью определить вектор.

Хи-распределение — непрерывное вероятностное распределение случайной величины, являющейся квадратным корнем суммы квадратов независимых нормальных случайных величин. Оно связано с хи-квадрат распределением и является распределением квадратного корня случайной величины, распределённой по закону $\text{[math]}$ .

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.