Расслоение Хопфа
Расслоение Хопфа — пример локально тривиального расслоения трёхмерной сферы над двумерной со слоем-окружностью:
- .
Расслоение Хопфа не является тривиальным. Является также важным примером главного расслоения.
Одним из самых простых способов задания этого расслоения является представление трёхмерной сферы как единичной сферы в , а двумерной сферы как комплексной проективной прямой . Тогда отображение:
и задаёт расслоение Хопфа. При этом слоями расслоения будут орбиты свободного действия группы :
- ,
где окружность представлена как множество единичных по модулю комплексных чисел:
- .
Обобщения
Совершенно аналогично, нечётномерная сфера расслаивается со слоем-окружностью над . Иногда это расслоение также называют расслоением Хопфа.
Также (помимо «комплексной») существуют вещественная, кватернионная и октавная версии таких семейств расслоений. Они начинаются соответственно с:
- (вещественная),
- (комплексная — собственно расслоение Хопфа),
- (кватернионная),
- (октавная).
Такие расслоения сферы , для которых и слой, и база, и тотальное пространство являются сферами, возможны только в случаях . Исключительность этих случаев связана с тем, что умножение в без делителей нуля может быть определено только при .
См. также
- Сфера Римана — комплексная проективная прямая, базовое многообразие расслоения Хопфа
- Унитарная группа U(1) — структурная группа расслоения Хопфа
- Трехмерная сфера — тотальное пространство расслоения Хопфа
- Сфера Пуанкаре и сфера Блоха — расслоение Хопфа в физике описывает поляризацию поперечной волны, состояние двухуровневой квантовой системы, релятивистское искажение небесной сферы и прочее[1][2]
- Сфера Милнора
Примечания
- ↑ Р.Пенроуз, В.Риндлер. Спиноры и пространство-время, спинорные и твисторные методы в геометрии пространства-времени . — Москва «Мир», 1988. — С. 78. Архивировано 3 октября 2015 года. Архивированная копия . Дата обращения: 1 февраля 2012. Архивировано 3 октября 2015 года.
- ↑ Д.Н. Клышко. Геометрическая фаза Берри в колебательных процессах // Успехи физических наук : журнал. — Российская академия наук, 1993. — Т. 163, № 11. — С. 1. Архивировано 9 сентября 2013 года.