Регулярная матрица Адамара

Регулярная матрица Адамара — это матрица Адамара, у которой суммы по строкам и столбцам равны. В то время как порядок матрицы Адамара должен быть 1, 2 или кратен 4, регулярные матрицы Адамара удовлетворяют дальнейшим ограничениям, что порядок равен полному квадрату. Избыток, обозначаемый E(H), матрицы Адамара H порядка n определяется как сумма элементов матрицы H. Избыток удовлетворяет ограничению $|E(H)|\leqslant n^{\tfrac {3}{2}}$ . Матрица Адамара достигает этой границы тогда и только тогда, когда она регулярна.

Параметры

Если $n=4u^{2}$ является порядком регулярной матрицы Адамара, то её избыток равен $\pm 8u^{3}$ , а суммы строк и столбцов равны $\pm 2u$ . Отсюда следует, что каждая строка имеет $2u^{2}\pm u$ положительных элементов и $2u^{2}\mp u$ отрицательных. Из ортогональности строк следует, что любые две различные строки имеют в точности $u^{2}\pm u$ общих положительных элемента. Если H интерпретировать как матрицу инцидентности блок-дизайна, когда 1 представляет смежность, а −1 представляет неинцидентность, то матрица H соответствует симметричному $2-(v,k,\lambda )$ дизайну с параметрами $(4u^{2},2u^{2}\pm u,u^{2}\pm u)$ . Дизайн с этими параметрами называется дизайном Менона.

Построение

Нерешённые проблемы математики: Какие полные квадраты могут быть порядком регулярной матрицы Адамара?

Известно несколько методов построения регулярных матриц Адамара и было проведено несколько исчерпывающих компьютерных поисков для регулярных матриц Адамара с определёнными группами симметрии, но не известно, каждый ли полный чётный квадрат есть порядок регулярной матрицы Адамара. Матрицы Адамара типа Буша являются регулярными матрицами Адамара специального вида и связаны с конечными проективными плоскостями.

История и наименование

Подобно более общим матрицам Адамара, регулярные матрицы Адамара названы именем Жака Адамара. Дизайн Менона назван именем индийского математика П. Кишава Менона, а матрицы Адамара типа Буша названы именем Кеннета А. Буша.

Примечания

Литература

The CRC Handbook of Combinatorial Designs / Colbourn C.J., Dinitz J.H. (ed.). — 2nd ed.. — Florida.: CRC Press, Boca Raton, 2006.
W. D. Wallis, Anne Penfold Street, Jennifer Seberry Wallis. Combinatorics: Room Squares, Sum-Free Sets, Hadamard Matrices. — Berlin: Springer-Verlag, 1972.

Похожие исследовательские статьи

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля, который представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся его элементы. Количество строк и столбцов задаёт размер матрицы. Матрицу можно также представить в виде функции двух дискретных аргументов. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы, в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.

Транспонированная матрица — матрица $\text{[math]}$ , полученная из исходной матрицы $\text{[math]}$ заменой строк на столбцы.

Маги́ческий, или волше́бный квадра́т — квадратная таблица $\text{[math]}$ , заполненная $\text{[math]}$ различными числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он называется полумагическим. Нормальным называется магический квадрат, заполненный натуральными числами от $\text{[math]}$ до $\text{[math]}$ . Магический квадрат называется ассоциативным или симметричным, если сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата, равна $\text{[math]}$ .

Лати́нский квадра́т n-го порядка — таблица L=(l_ij) размеров n × n, заполненная n элементами множества M таким образом, что в каждой строке и в каждом столбце таблицы каждый элемент из M встречается в точности один раз. Пример латинского квадрата 3-го порядка:

Минор в линейной алгебре — определитель некоторой меньшей квадратной матрицы $\text{[math]}$ , вырезанной из заданной матрицы $\text{[math]}$ путём удаления одной или нескольких её строк и столбцов. Порядок матрицы $\text{[math]}$ называется порядком этого минора. Если на диагонали матрицы $\text{[math]}$ расположены только диагональные элементы матрицы $\text{[math]}$ , то минор называется главным.

Блок-схема — это множество вместе с семейством подмножеств, члены которого удовлетворяют некоторым свойствам, которые считаются полезными для конкретного приложения. Эти приложения приходят из разных областей, включая планирование эксперимента, конечную геометрию, тестирование программного обеспечения, криптографию и алгебраическую геометрию. Рассматривалось много вариантов, но наиболее интенсивно изучались сбалансированные неполные блок-схемы, которые исторически были связаны со статистическими задачами при планировании эксперимента.

Унита́рная ма́трица — квадратная матрица с комплексными элементами, результат умножения которой на эрмитово сопряжённую равен единичной матрице: $\text{[math]}$ . Другими словами, матрица унитарна тогда и только тогда, когда существует обратная к ней матрица, удовлетворяющая условию $\text{[math]}$ .

<span class="mw-page-title-main">Конечная группа</span> алгебраическая структура - группа, содержащая конечное число элементов

Конечная группа в общей алгебре — группа, содержащая конечное число элементов. Далее группа предполагается мультипликативной, то есть операция в ней обозначается как умножение; аддитивные группы с операцией сложения оговариваются особо. Единицу мультипликативной группы будем обозначать символом 1. Порядок группы $\text{[math]}$ принято обозначать $\text{[math]}$

LUP-разложение (LUP-декомпозиция) — представление данной матрицы $\text{[math]}$ в виде произведения $\text{[math]}$ где матрица $\text{[math]}$ является нижнетреугольной с единицами на главной диагонали, $\text{[math]}$ — верхнетреугольная общего вида, а $\text{[math]}$ — т. н. матрица перестановок, получаемая из единичной матрицы путём перестановки строк или столбцов. Такое разложение можно осуществить для любой невырожденной матрицы. LUP-разложение используется для вычисления обратной матрицы по компактной схеме, вычисления решения системы линейных уравнений. По сравнению с алгоритмом LU-разложения алгоритм LUP-разложения может обрабатывать любые невырожденные матрицы и при этом обладает более высокой вычислительной устойчивостью.

Матрица Адамара $\text{[math]}$ — это квадратная матрица размера n×n, составленная из чисел 1 и −1, столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение

\text{[math]}

Код с малой плотностью проверок на чётность — используемый в передаче информации код, частный случай блочного линейного кода с проверкой чётности. Особенностью является малая плотность значимых элементов проверочной матрицы, за счёт чего достигается относительная простота реализации средств кодирования.

<span class="mw-page-title-main">Сингулярное разложение</span> разложение прямоугольной матрицы по собственным векторам

Сингуля́рное разложе́ние — определённого типа разложение прямоугольной матрицы, имеющее широкое применение, в силу своей наглядной геометрической интерпретации, при решении многих прикладных задач. Переформулировка сингулярного разложения, так называемое разложение Шмидта, имеет приложения в квантовой теории информации, например в запутанности.

В теории чисел, Лемма Золотарёва утверждает, что символ Лежандра

\text{[math]}

В математике конференс-матрица (также называемая C-матрица, конференц-матрица) — это квадратная матрица C с нулями на диагонали, и с +1 и −1 вне диагонали такая, что C^TC кратна единичной матрице I. Таким образом, если матрица C имеет порядок n, то C^TC = (n−1)I. Некоторые авторы дают более общее определение, требуя наличия нуля в каждой строке и в каждом столбце, но не обязательно на диагонали.

В математике, весовая матрица $\text{[math]}$ порядка $\text{[math]}$ с весом $\text{[math]}$ — это $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ -матрица, такая что $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — транспонирование матрицы $\text{[math]}$ , а $\text{[math]}$ — единичная матрица порядка $\text{[math]}$ . Весовую матрицу также называют весовой схемой.

Экспонента матрицы — матричная функция от квадратной матрицы, аналогичная обычной экспоненциальной функции. Матричная экспонента устанавливает связь между алгеброй Ли матриц и соответствующий группой Ли.

Теория комбинаторных схем — это часть комбинаторики, рассматривающая существование, построение и свойства семейств конечных множеств, структура которых удовлетворяет обобщённым концепциям равновесия и/или симметрии. Эти концепции не определены точно, так что объекты широкого диапазона могут пониматься как комбинаторные схемы. Так, в одном случае комбинаторные схемы могут представлять собой пересечения множеств чисел, как в блок-схемах, а в другом случае могут отражать расположение элементов в судоку.

Таблица характеров — двумерная таблица, строки которой соответствуют неприводимым представлениям группы, а столбцы которой соответствует классам сопряжённости элементов группы. Элементы матрицы состоят из характеров, следов матриц, представляющих группу элементов класса столбца в определяемом строкoй представлении группы.

Построение Палея — это метод построения матриц Адамара с помощью конечного поля. Построение описал в 1933 году английский математик Реймонд Палей.

Транспозиционная матрица — квадратная матрица размера $\text{[math]}$ , элементы которой получаются из элементов заданного $\text{[math]}$ -мерного вектора $\text{[math]}$ по формуле:

\text{[math]}

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.