Резольвента интегрального уравнения

Резольвента интегрального уравнения

Рассмотрим интегральное уравнение:

${\displaystyle f(s)+\lambda \int \limits _{a}^{b}K(s,\;t)\varphi (t)\,dt=\varphi (s).\qquad (*)}$

Резольвентой интегрального уравнения, или его разрешающим ядром называется такая функция ${\displaystyle \Gamma (s,\;t,\;\lambda )}$ переменных ${\displaystyle s}$, ${\displaystyle t}$ и параметра ${\displaystyle \lambda }$, что решение уравнения (*) представляется в виде:

${\displaystyle u^{*}(s)=f(s)+\lambda \int \limits _{a}^{b}\Gamma (s,\;t,\;\lambda )f(t)\,dt.}$

При этом ${\displaystyle \lambda }$ не должна быть собственным числом уравнения (*).

Пусть уравнение (*) имеет ядро ${\displaystyle K(s,\;t)=s+t}$, то есть само уравнение имеет вид:

${\displaystyle \varphi (s)+\lambda \int \limits _{0}^{1}(s+t)\varphi (t)\,dt=f(s).}$

Тогда его резольвентой является функция

${\displaystyle \Gamma (s,\;t,\;\lambda )={\frac {s+t+\lambda \left({\dfrac {s+t}{2}}+st+{\dfrac {1}{3}}\right)}{1+\lambda -{\dfrac {\lambda ^{2}}{12}}}}.}$

Пусть ${\displaystyle A}$ — линейный оператор. Тогда его резольвентой называется операторнозначная функция^[1]

${\displaystyle R(z)=(A-zE)^{-1}}$,

где ${\displaystyle E}$ — тождественный оператор, а ${\displaystyle z}$ — комплексное число, из резольвентного множества, то есть такого множества, что ${\displaystyle R(z)}$ есть ограниченный оператор

Данное понятие используется для решения неоднородного уравнения Фредгольма второго рода.

• Спектр оператора