Репьюниты

Репью́ниты (англ. repunit, от repeated unit — повторённая единица)^[1] — натуральные числа ${\displaystyle R(b,n)}$, запись которых в системе счисления с основанием ${\displaystyle b>1}$ состоит из одних единиц. В десятичной системе счисления репьюниты обозначаются ${\displaystyle R_{n}}$: ${\displaystyle R_{1}=1}$, ${\displaystyle R_{2}=11}$, ${\displaystyle R_{3}=111}$ и т. д., и общий вид для них:

${\displaystyle R_{n}={\frac {10^{n}-1}{9}},\quad n=1,2,3,\ldots }$

Репьюниты являются частным случаем репдигитов.

(Простые числа в факторизациях, окрашенные в коричневый цвет, означают, что это новые простые числа в факторизациях R_n, которые не делят R_k для всех k < n^[2])

• На 2022 год известно только 11 простых репьюнитов ${\displaystyle R_{n}}$ для n, равных^[3]:

2, 19, 23, 317, 1031, 49 081, 86 453, 109 297, 270 343, 5 794 777, 8 177 207 (последовательность A004023 в OEIS)

Очевидно, что индексы простых репьюнитов также являются простыми числами.

• В результате умножения ${\displaystyle R_{i}\cdot R_{j}}$ при ${\displaystyle 9\geq i\geq j}$ получается палиндромическое число вида ${\displaystyle (12\ldots j\ldots 21)}$ из ${\displaystyle i+j-1}$ цифр с цифрой ${\displaystyle j}$ посередине.
• Репьюнит 11 111 111 111 111 111 111 является самопорождённым числом.
• Всякое положительное кратное репьюнита ${\displaystyle R_{n}}$ содержит не менее n ненулевых цифр.
• Репьюнит как сумма последовательных квадратов. Число 1111 можно представить в виде суммы квадратов нескольких последовательных натуральных чисел: ${\displaystyle 1111=\sum \limits _{n=11}^{16}n^{2}}$. Очевидно, что единица также удовлетворяет данному условию. Других таких репьюнитов нет вплоть до длины 251 включительно.

В честь репьюнитов назван астероид (11111) Репьюнит, порядковый номер которого — ${\displaystyle R_{5}}$.

• Yates S. The mystique of repunits — Math. Mag., 1978, 51, 22—28.
• Ейтс С. Репьюниты и десятичные периоды — Мир, 1992.
• Кордемский Б. На часок к семейке репьюнитов // Квант. — 1997. — № 5. — С. 28—29.
• Н. М. Карпушина. Вне формата. Занимательная математика: гимнастика для ума или искусство удивлять?. — М.: АНО Редакция журнала «Наука и жизнь», 2013. — С. 115, 132-149. — 288 с. — ISBN 978-5-904129-07-1.