Решение треугольников

Исторический термин «решение треугольников» (лат. solutio triangulorum) обозначает решение следующей тригонометрической задачи: найти остальные стороны и/или углы треугольника по уже известным^[1]. Существуют также обобщения этой задачи на случай, когда заданы другие элементы треугольника (например, медианы, биссектрисы, высоты, площадь и т. д.), а также на случай, когда треугольник располагается не на евклидовой плоскости, а на сфере (сферический треугольник), на гиперболической плоскости (гиперболический треугольник) и т. п. Данная задача часто встречается в тригонометрических приложениях — например, в геодезии, астрономии, строительстве, навигации.

У треугольника^[2] общего вида имеется 6 основных элементов: 3 линейные (длины сторон ${\displaystyle a,b,c}$) и 3 угловые (${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$). Сторону, противолежащую углу при вершине, традиционно обозначают той же буквой, что и эта вершина, но не заглавной, а строчной (см. рисунок). В классической задаче плоской тригонометрии заданы 3 из этих 6 характеристик, и нужно определить 3 остальные. Очевидно, если известны только 2 или 3 угла, однозначного решения не получится, так как любой треугольник, подобный данному, тоже будет решением, поэтому далее предполагается, что хотя бы одна из известных величин — линейная^[3].

Алгоритм решения задачи зависит от того, какие именно характеристики треугольника считаются известными. Поскольку вариант «заданы три угла» исключён из рассмотрения, остаются 5 различных вариантов^[4]:

• три стороны;
• две стороны и угол между ними;
• две стороны и угол напротив одной из них;
• сторона и два прилежащих угла;
• сторона, противолежащий угол и один из прилежащих.

Стандартным методом решения задачи является использование нескольких фундаментальных соотношений, выполняющихся для всех плоских треугольников^[5]:

Теорема косинусов

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha }$

${\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot \cos \beta }$

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma }$

Теорема синусов

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}}$

Сумма углов треугольника

${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }}$

Из других иногда полезных на практике универсальных соотношений следует упомянуть теорему тангенсов, теорему котангенсов, теорему о проекциях и формулы Мольвейде.

1. Для нахождения неизвестного угла надёжнее использовать теорему косинусов, а не синусов, потому что значение синуса угла при вершине треугольника не определяет однозначно самого угла, поскольку смежные углы имеют один и тот же синус^[6]. Например, если ${\displaystyle \sin \beta =0{,}5,}$ то угол ${\displaystyle \beta }$ может быть как ${\displaystyle 30^{\circ }}$, так и ${\displaystyle 150^{\circ }}$, потому что синусы этих углов совпадают. Исключением является случай, когда заранее известно, что в данном треугольнике тупых углов быть не может — например, если треугольник прямоугольный. С косинусом такие проблемы не возникают: в интервале от ${\displaystyle 0^{\circ }}$ до ${\displaystyle 180^{\circ }}$ значение косинуса определяет угол однозначно.
2. При построении треугольников важно помнить, что зеркальное отражение построенного треугольника тоже будет решением задачи. Например, три стороны однозначно определяют треугольник с точностью до отражения.
3. Все треугольники подразумеваются невырожденными, то есть длина стороны не может быть нулевой, а величина угла — положительное число, меньшее, чем ${\displaystyle 180^{\circ }}$.

Пусть заданы длины всех трёх сторон ${\displaystyle a,b,c}$. Условие разрешимости задачи — выполнение неравенства треугольника, то есть каждая длина должна быть меньше, чем сумма двух других длин:

${\displaystyle a<b+c,\quad b<a+c,\quad c<a+b.}$

Чтобы найти углы ${\displaystyle \alpha ,\beta }$, надо воспользоваться теоремой косинусов^[7]:

${\displaystyle \alpha =\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}},\quad \beta =\arccos {\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}.}$

Третий угол сразу находится из правила, что сумма всех трёх углов должна быть равна ${\displaystyle 180^{\circ }\colon }$

${\displaystyle \gamma =180^{\circ }-(\alpha +\beta ).}$

Не рекомендуется второй угол находить по теореме синусов, потому что, как указано в замечании 1, существует опасность спутать тупой угол с острым. Этой опасности не возникнет, если первым определить, по теореме косинусов, наибольший угол (он лежит против наибольшей из сторон) — два других угла точно являются острыми, и применение к ним теоремы синусов безопасно.

Ещё один метод вычисления углов по известным сторонам — использование теоремы котангенсов.

Пусть для определённости известны длины сторон ${\displaystyle a,b}$ и угол ${\displaystyle \gamma }$ между ними. Этот вариант задачи всегда имеет единственное решение. Для определения длины стороны ${\displaystyle c}$ применяется теорема косинусов^[8]:

${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}.}$

Фактически задача сведена к предыдущему случаю. Далее ещё раз применяется теорема косинусов для нахождения второго угла:

${\displaystyle \alpha =\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}=\arccos {\frac {b-a\cos \gamma }{\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}}.}$

Третий угол находится из теоремы о сумме углов треугольника: ${\displaystyle \beta =180^{\circ }-\alpha -\gamma }$.

В этом случае решений может быть два, одно или ни одного. Пусть известны две стороны ${\displaystyle b,c}$ и угол ${\displaystyle \beta }$. Тогда уравнение для угла ${\displaystyle \gamma }$ находится из теоремы синусов^[9]:

${\displaystyle \sin \gamma ={\frac {c}{b}}\sin \beta .}$

Для краткости обозначим ${\displaystyle D={\frac {c}{b}}\sin \beta }$ (правая часть уравнения). Это число всегда положительно. При решении уравнения возможны 4 случая, во многом зависящие от D^[10][11].

1. Задача не имеет решения (сторона ${\displaystyle b}$ «не достаёт» до линии ${\displaystyle BC}$) в двух случаях: если ${\displaystyle D>1}$ или если угол ${\displaystyle \beta \geqslant 90^{\circ }}$ и при этом ${\displaystyle b\leqslant c.}$
2. Если ${\displaystyle D=1,}$ существует единственное решение, причём треугольник прямоугольный: ${\displaystyle \gamma =\arcsin D=90^{\circ }.}$

3. Если ${\displaystyle D<1,}$ то возможны 2 варианта.
   1. Если ${\displaystyle b<c}$, то угол ${\displaystyle \gamma }$ имеет два возможных значения: острый угол ${\displaystyle \gamma =\arcsin D}$ и тупой угол ${\displaystyle \gamma '=180^{\circ }-\gamma }$. На рисунке справа первому значению соответствуют точка ${\displaystyle C}$, сторона ${\displaystyle b}$ и угол ${\displaystyle \gamma }$, а второму значению — точка ${\displaystyle C'}$, сторона ${\displaystyle b'=b}$ и угол ${\displaystyle \gamma '}$.
   2. Если ${\displaystyle b\geqslant c}$, то ${\displaystyle \beta \geqslant \gamma }$ (большей стороне треугольника соответствует больший противолежащий угол). Поскольку в треугольнике не может быть двух тупых углов, тупой угол для ${\displaystyle \gamma }$ исключён и решение ${\displaystyle \gamma =\arcsin D}$ единственно.

Третий угол определяется по формуле ${\displaystyle \alpha =180^{\circ }-\beta -\gamma }$. Третью сторону можно найти по теореме синусов:

${\displaystyle a=b\ {\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}}$

Пусть задана сторона ${\displaystyle c}$ и два угла. Эта задача имеет единственное решение, если сумма двух углов меньше ${\displaystyle 180^{\circ }}$. В противном случае задача решения не имеет.

Вначале определяется третий угол. Например, если даны углы ${\displaystyle \alpha ,\beta }$, то ${\displaystyle \gamma =180^{\circ }-\alpha -\beta }$. Далее обе неизвестные стороны находятся по теореме синусов^[12]:

${\displaystyle a=c\ {\frac {\sin \alpha }{\sin \gamma }},\quad b=c\ {\frac {\sin \beta }{\sin \gamma }}.}$

В этом случае известен один из углов — он равен 90°. Необходимо знать ещё два элемента, хотя бы один из которых — сторона. Возможны следующие случаи:

• два катета;
• катет и гипотенуза;
• катет и прилежащий острый угол;
• катет и противолежащий острый угол;
• гипотенуза и острый угол.

Вершину прямого угла традиционно обозначают буквой ${\displaystyle C}$, гипотенузу — ${\displaystyle c}$. Катеты обозначаются ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$, а величины противолежащих им углов — ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ соответственно.

Расчётные формулы существенно упрощаются, так как вместо теорем синусов и косинусов можно использовать более простые соотношения — теорему Пифагора:

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$

и определения основных тригонометрических функций:

${\displaystyle \sin \alpha =\cos \beta ={\frac {a}{c}},\quad \cos \alpha =\sin \beta ={\frac {b}{c}},}$

${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha =\operatorname {ctg} \beta ={\frac {a}{b}},\quad \operatorname {ctg} \alpha =\operatorname {tg} \beta ={\frac {b}{a}}.}$

Ясно также, что углы ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ — острые, так как их сумма равна ${\displaystyle 90^{\circ }}$. Поэтому любой из неизвестных углов однозначно определяется по любой из его тригонометрических функций (синусу, косинусу, тангенсу и др.) путём вычисления соответствующей обратной тригонометрической функции.

При корректной постановке задачи (если заданы гипотенуза и катет, то катет должен быть меньше гипотенузы; если задан один из двух непрямых углов, то он должен быть острый) решение всегда существует и единственно.

Гипотенуза находится по теореме Пифагора:

${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}$

Углы могут быть найдены с использованием функции арктангенса:

${\displaystyle \alpha =\operatorname {arctg} {\frac {a}{b}},\quad \beta =\operatorname {arctg} {\frac {b}{a}}}$

или же по только что найденной гипотенузе:

${\displaystyle \alpha =\arcsin {\frac {a}{c}}=\arccos {\frac {b}{c}},\quad \beta =\arcsin {\frac {b}{c}}=\arccos {\frac {a}{c}}.}$

Пусть известны катет ${\displaystyle b}$ и гипотенуза ${\displaystyle c}$ — тогда катет ${\displaystyle a}$ находится из теоремы Пифагора:

${\displaystyle a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}.}$

После этого углы определяются аналогично предыдущему случаю.

Пусть известны катет ${\displaystyle b}$ и прилежащий к нему угол ${\displaystyle \alpha }$.

Гипотенуза ${\displaystyle c}$ находится из соотношения

${\displaystyle c={\frac {b}{\cos \alpha }}.}$

Катет ${\displaystyle a}$ может быть найден либо по теореме Пифагора аналогично предыдущему случаю, либо из соотношения

${\displaystyle a=b\ \mathrm {tg} \,\alpha .}$

Острый угол ${\displaystyle \beta }$ может быть найден как

${\displaystyle \beta =90^{\circ }-\alpha .}$

Пусть известны катет ${\displaystyle b}$ и противолежащий ему угол ${\displaystyle \beta }$.

Гипотенуза ${\displaystyle c}$ находится из соотношения

${\displaystyle c={\frac {b}{\sin \beta }}.}$

Катет ${\displaystyle a}$ и второй острый угол ${\displaystyle \alpha }$ могут быть найдены аналогично предыдущему случаю.

Пусть известны гипотенуза ${\displaystyle c}$ и острый угол ${\displaystyle \beta }$.

Острый угол ${\displaystyle \alpha }$ может быть найден как

${\displaystyle \alpha =90^{\circ }-\beta .}$

Катеты определяются из соотношений

${\displaystyle a=c\sin \alpha =c\cos \beta ,}$

${\displaystyle b=c\sin \beta =c\cos \alpha .}$

Сферический треугольник

Стороны сферического треугольника ${\displaystyle a,b,c}$ измеряют величиной опирающихся на них центральных углов

Сферический треугольник общего вида полностью определяется тремя из шести своих характеристик (3 стороны и 3 угла). Стороны сферического треугольника ${\displaystyle a,b,c}$ принято измерять не линейными единицами, а величиной опирающихся на них центральных углов.

Решение треугольников в сферической геометрии имеет ряд отличий от плоского случая. Например, сумма трёх углов ${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma }$ зависит от треугольника; кроме того, на сфере не существует неравных подобных треугольников, и поэтому задача построения треугольника по трём углам имеет единственное решение. Но основные соотношения: две сферические теоремы косинусов и сферическая теорема синусов, — используемые для решения задачи, аналогичны плоскому случаю.

Из других соотношений могут оказаться полезными формулы аналогии Непера^[13] и формула половины стороны^[14].

Если даны (в угловых единицах) стороны ${\displaystyle a,b,c}$, то углы треугольника определяются из теоремы косинусов^[15]:

${\displaystyle \alpha =\arccos \left({\frac {\cos a-\cos b\ \cos c}{\sin b\ \sin c}}\right)}$,

${\displaystyle \beta =\arccos \left({\frac {\cos b-\cos c\ \cos a}{\sin c\ \sin a}}\right)}$,

${\displaystyle \gamma =\arccos \left({\frac {\cos c-\cos a\ \cos b}{\sin a\ \sin b}}\right)}$,

Пусть заданы стороны ${\displaystyle a,b}$ и угол ${\displaystyle \gamma }$ между ними. Сторона ${\displaystyle c}$ находится по теореме косинусов^[15]:

${\displaystyle c=\arccos \left(\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma \right)}$

Углы ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ можно найти так же, как в предыдущем случае, можно также использовать формулы аналогии Непера:

${\displaystyle \alpha =\operatorname {arctg} \ {\frac {2\sin a}{\operatorname {tg} ({\frac {\gamma }{2}})\sin(b+a)+\operatorname {ctg} ({\frac {\gamma }{2}})\sin(b-a)}},}$

${\displaystyle \beta =\operatorname {arctg} \ {\frac {2\sin b}{\operatorname {tg} ({\frac {\gamma }{2}})\sin(a+b)+\operatorname {ctg} ({\frac {\gamma }{2}})\sin(a-b)}}.}$

Пусть заданы стороны ${\displaystyle b,c}$ и угол ${\displaystyle \beta }$. Чтобы решение существовало, необходимо выполнение условия:

${\displaystyle b>\arcsin(\sin c\,\sin \beta ).}$

Угол ${\displaystyle \gamma }$ получается из теоремы синусов:

${\displaystyle \gamma =\arcsin \left({\frac {\sin c\,\sin \beta }{\sin b}}\right).}$

Здесь, аналогично плоскому случаю, при ${\displaystyle b<c}$ получаются два решения: ${\displaystyle \gamma }$ и ${\displaystyle 180^{\circ }-\gamma }$.

Остальные величины можно найти из формул аналогии Непера^[16]:

${\displaystyle a=2\operatorname {arctg} \left\{\operatorname {tg} \left({\frac {1}{2}}(b-c)\right){\frac {\sin \left({\frac {1}{2}}(\beta +\gamma )\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}(\beta -\gamma )\right)}}\right\}}$,

${\displaystyle \alpha =2\operatorname {arcctg} \left\{\operatorname {tg} \left({\frac {1}{2}}(\beta -\gamma )\right){\frac {\sin \left({\frac {1}{2}}(b+c)\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}(b-c)\right)}}\right\}}$.

В этом варианте задана сторона ${\displaystyle c}$ и углы ${\displaystyle \alpha ,\beta }$. Угол ${\displaystyle \gamma }$ определяется по теореме косинусов^[17]:

${\displaystyle \gamma =\arccos(\sin \alpha \sin \beta \cos c-\cos \alpha \cos \beta ).}$

Две неизвестные стороны получаются из формул аналогии Непера:

${\displaystyle a=\operatorname {arctg} \left\{{\frac {2\sin \alpha }{\operatorname {ctg} (c/2)\sin(\beta +\alpha )+\operatorname {tg} (c/2)\sin(\beta -\alpha )}}\right\}}$

${\displaystyle b=\operatorname {arctg} \left\{{\frac {2\sin \beta }{\operatorname {ctg} (c/2)\sin(\alpha +\beta )+\operatorname {tg} (c/2)\sin(\alpha -\beta )}}\right\}}$

или, если использовать вычисленный угол ${\displaystyle \gamma }$, по теореме косинусов:

${\displaystyle a=\arccos \left({\frac {\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }}\right),}$

${\displaystyle b=\arccos \left({\frac {\cos \beta +\cos \gamma \cos \alpha }{\sin \gamma \sin \alpha }}\right).}$

В отличие от плоского аналога данная задача может иметь несколько решений.

Пусть заданы сторона ${\displaystyle a}$ и углы ${\displaystyle \alpha ,\beta }$. Сторона ${\displaystyle b}$ определяется по теореме синусов^[18]:

${\displaystyle b=\arcsin \left({\frac {\sin a\,\sin \beta }{\sin \alpha }}\right).}$

Если угол для стороны ${\displaystyle a}$ острый и ${\displaystyle \alpha >\beta }$, существует второе решение:

${\displaystyle b=\pi -\arcsin \left({\frac {\sin a\,\sin \beta }{\sin \alpha }}\right).}$

Остальные величины определяются из формул аналогии Непера:

${\displaystyle c=2\operatorname {arctg} \left\{\operatorname {tg} \left({\frac {1}{2}}(a-b)\right){\frac {\sin \left({\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )\right)}}\right\}.}$

${\displaystyle \gamma =2\operatorname {arcctg} \left\{\operatorname {tg} \left({\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )\right){\frac {\sin \left({\frac {1}{2}}(a+b)\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}(a-b)\right)}}\right\}.}$

Если заданы три угла, стороны находятся по теореме косинусов:

${\displaystyle a=\arccos \left({\frac {\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }}\right)}$,

${\displaystyle b=\arccos \left({\frac {\cos \beta +\cos \gamma \cos \alpha }{\sin \gamma \sin \alpha }}\right)}$,

${\displaystyle c=\arccos \left({\frac {\cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta }{\sin \alpha \sin \beta }}\right)}$.

Другой вариант: использование формулы половины угла^[19].

Изложенные алгоритмы значительно упрощаются, если известно, что один из углов треугольника (например, угол ${\displaystyle C}$) прямой. Прямоугольный сферический треугольник полностью определяется двумя элементами, остальные три находятся при помощи мнемонического правила Непера или из нижеприведённых соотношений^[20]:

${\displaystyle \sin a=\sin c\cdot \sin \alpha =\operatorname {tg} b\cdot \operatorname {ctg} \beta ,}$

${\displaystyle \sin b=\sin c\cdot \sin \beta =\operatorname {tg} a\cdot \operatorname {ctg} \alpha ,}$

${\displaystyle \cos c=\cos a\cdot \cos b=\operatorname {ctg} \alpha \cdot \operatorname {ctg} \beta ,}$

${\displaystyle \operatorname {tg} a=\sin b\cdot \operatorname {tg} \alpha ,}$

${\displaystyle \operatorname {tg} b=\operatorname {tg} c\cdot \cos \alpha ,}$

${\displaystyle \cos \alpha =\cos a\cdot \sin \beta =\operatorname {tg} b\cdot \operatorname {ctg} c,}$

${\displaystyle \cos \beta =\cos b\cdot \sin \alpha =\operatorname {tg} a\cdot \operatorname {ctg} c.}$

Во многих практически важных задачах вместо сторон треугольника задаются другие его характеристики — например, длина медианы, высоты, биссектрисы, радиус вписанного или описанного круга и т. д. Аналогично вместо углов при вершинах треугольника в задаче могут фигурировать иные углы. Алгоритмы решения подобных задач чаще всего комбинируются из рассмотренных выше теорем тригонометрии.

Примеры:

• Задача Региомонтана: построить треугольник, если известны одна его сторона, длина опущенной на неё высоты и противолежащий угол^[21].
• Задача Снеллиуса-Потенота.
• Задача Томаса Финке^[22]: найти углы треугольника, если известна сумма двух углов ${\displaystyle \alpha +\beta }$ и отношение противолежащих сторон ${\displaystyle a:b}$.
• Задача Ньютона: решить треугольник, если известны одна его сторона, противолежащий угол и сумма двух других сторон.

Чтобы определить расстояние ${\displaystyle d}$ от берега до недоступной точки — например, до удалённого корабля,— нужно отметить на берегу две точки, расстояние ${\displaystyle l}$ между которыми известно, и измерить углы ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ между линией, соединяющей эти точки, и направлением на корабль. Из формул варианта «сторона и два угла» можно найти длину высоты треугольника^[23]:

${\displaystyle d={\frac {\sin \alpha \,\sin \beta }{\sin(\alpha +\beta )}}\,l={\frac {\operatorname {tg} \alpha \,\operatorname {tg} \beta }{\operatorname {tg} \alpha +\operatorname {tg} \beta }}\,l}$

Этот метод используется в каботажном судоходстве. Углы ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ при этом оцениваются наблюдениями с корабля известных ориентиров на земле. Аналогичная схема используется в астрономии, чтобы определить расстояние до близкой звезды: измеряются углы наблюдения этой звезды с противоположных точек земной орбиты (то есть с интервалом в полгода) и по их разности (параллаксу) вычисляют искомое расстояние^[23].

Другой пример: требуется измерить высоту ${\displaystyle h}$ горы или высокого здания. Известны углы ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ наблюдения вершины из двух точек, расположенных на расстоянии ${\displaystyle l}$. Из формул того же варианта, что и выше, получается^[24]:

${\displaystyle h={\frac {\sin \alpha \,\sin \beta }{\sin(\beta -\alpha )}}\,l={\frac {\operatorname {tg} \alpha \,\operatorname {tg} \beta }{\operatorname {tg} \beta -\operatorname {tg} \alpha }}\,l}$

Надо вычислить расстояние между двумя точками на земном шаре^[25]:

Точка ${\displaystyle A}$: широта ${\displaystyle \lambda _{\mathrm {A} },}$ долгота ${\displaystyle L_{\mathrm {A} },}$

Точка ${\displaystyle B}$: широта ${\displaystyle \lambda _{\mathrm {B} },}$ долгота ${\displaystyle L_{\mathrm {B} },}$

Для сферического треугольника ${\displaystyle ABC}$, где ${\displaystyle C}$ — северный полюс, известны следующие величины:

${\displaystyle a=90^{\mathrm {o} }-\lambda _{\mathrm {B} }}$

${\displaystyle b=90^{\mathrm {o} }-\lambda _{\mathrm {A} }}$

${\displaystyle \gamma =L_{\mathrm {A} }-L_{\mathrm {B} }}$

Это случай «две стороны и угол между ними». Из приведенных выше формул получается:

${\displaystyle \mathrm {AB} =R\arccos \left\{\sin \lambda _{\mathrm {A} }\,\sin \lambda _{\mathrm {B} }+\cos \lambda _{\mathrm {A} }\,\cos \lambda _{\mathrm {B} }\,\cos \left(L_{\mathrm {A} }-L_{\mathrm {B} }\right)\right\}}$,

где ${\displaystyle R}$ — радиус Земли.

Зачатки тригонометрических знаний можно найти в математических рукописях Древнего Египта, Вавилона и Древнего Китая. Главным достижением этого периода стало соотношение, позже получившее имя теоремы Пифагора; Ван дер Варден считает, что вавилоняне открыли его между 2000 и 1786 годами до н. э.^[26]

Общая постановка задачи решения треугольников (как плоских, так и сферических) появилась в древнегреческой геометрии^[27]. Во второй книге «Начал» Евклида теорема 12 представляет собой словесный аналог теоремы косинусов для тупоугольных треугольников^[28]:

В тупоугольных треугольниках квадрат на стороне, стягивающей тупой угол, больше [суммы] квадратов на сторонах, содержащих тупой угол, на дважды взятый прямоугольник, заключённый между одной из сторон при тупом угле, на которую падает перпендикуляр, и отсекаемым этим перпендикуляром снаружи отрезком при тупом угле.

Следующая за ней теорема 13 — вариант теоремы косинусов для остроугольных треугольников. Аналога теоремы синусов у греков не было, это важнейшее открытие было сделано гораздо позднее^[29]: древнейшее из дошедших до нас доказательств теоремы синусов на плоскости описано в книге Насир ад-Дин Ат-Туси «Трактат о полном четырёхстороннике», написанной в XIII веке^[30].

Первые тригонометрические таблицы составил, вероятно, Гиппарх в середине II века до н. э. для астрономических расчётов. Позднее астроном II века Клавдий Птолемей в «Альмагесте» дополнил результаты Гиппарха. Первая книга «Альмагеста» — самая значимая тригонометрическая работа всей античности. В частности, «Альмагест» содержит обширные тригонометрические таблицы хорд для острых и тупых углов, с шагом 30 угловых минут. В таблицах Птолемей приводит значение длин хорд с точностью до трех шестидесятиричных знаков^[31]. Такая точность примерно соответствует пятизначной десятичной таблице синусов с шагом 15 угловых минут^[1].

Птолемей явно не формулирует теорему синусов и косинусов для треугольников. Тем не менее он всегда справляется с задачей решения треугольников, разбивая треугольник на два прямоугольных^[32].

Параллельно с развитием тригонометрии плоскости греки, под влиянием астрономии, далеко продвинули сферическую тригонометрию^[33]. Решающим этапом в развитии теории стала монография «Сферика» в трёх книгах, которую написал Менелай Александрийский (около 100 года н. э.). В первой книге он изложил теоремы о сферических треугольниках, аналогичные теоремам Евклида о плоских треугольниках (см. I книгу «Начал»). По сообщению Паппа, Менелай первым ввёл понятие сферического треугольника как фигуры, образованной отрезками больших кругов^[34]. Несколько десятилетий спустя Клавдий Птолемей в своих трудах «География», «Аналемма» и «Планисферий» даёт подробное изложение тригонометрических приложений к картографии, астрономии и механике.

В IV веке, после упадка античной науки, центр развития математики переместился в Индию. Сочинения индийских математиков (сиддханты) показывают, что их авторы были хорошо знакомы с трудами греческих астрономов и геометров^[35]. Чистой геометрией индийцы интересовались мало, но их вклад в прикладную астрономию и расчётные аспекты тригонометрии очень значителен. В частности, индийцы первыми ввели в использование косинус^[36]. Кроме того, индийцы знали формулы для кратных углов ${\displaystyle \sin n\varphi }$, ${\displaystyle \cos n\varphi }$ для ${\displaystyle n=2,3,4,5}$. В «Сурья-сиддханте» и в трудах Брахмагупты при решении задач фактически используется сферический вариант теоремы синусов, однако общая формулировка этой теоремы в Индии так и не появилась^[37].

В VIII веке учёные стран Ближнего и Среднего Востока познакомились с трудами древнегреческих и индийских математиков и астрономов. Их астрономические трактаты, аналогичные индийским сиддхантам, назывались «зиджи»; типичный зидж представлял собой сборник астрономических и тригонометрических таблиц, снабжённый руководством по их использованию и (не всегда) изложением общей теории^[38]. Сравнение зиджей периода VIII—XIII веков показывает быструю эволюцию тригонометрических знаний. Самые ранние из сохранившихся трудов принадлежат ал-Хорезми и ал-Марвази (IX век), которые рассмотрели, наряду с известными ещё индийцам синусом и косинусом, новые тригонометрические функции: тангенс, котангенс, секанс и косеканс^[36].

Сабит ибн Курра (IX век) и ал-Баттани (X век) первыми открыли фундаментальную теорему синусов для частного случая прямоугольного сферического треугольника. Для произвольного сферического треугольника доказательство было найдено (разными способами и, вероятно, независимо друг от друга) Абу-л-Вафой, ал-Худжанди и ибн Ираком в конце X века^[29]. В другом трактате ибн Ирака сформулирована и доказана теорема синусов для плоского треугольника^[39]. Сферическая теорема косинусов в общем виде сформулирована в странах ислама не была, однако в трудах Сабита ибн Курры, ал-Баттани и других астрономов имеются эквивалентные ей утверждения^[40].

Фундаментальное изложение тригонометрии как самостоятельной науки (как плоской, так и сферической) дал персидский математик и астроном Насир ад-Дин ат-Туси в 1260 году^[41]. Его «Трактат о полном четырёхстороннике» содержит практические способы решения типичных задач, в том числе труднейших, решенных самим ат-Туси — например, построение сторон сферического треугольника по заданным трём углам^[42]. Таким образом, к концу XIII века были открыты базовые теоремы, необходимые для эффективного решения треугольников.

В Европе развитие тригонометрической теории стало чрезвычайно важным в Новое время, в первую очередь для артиллерии, оптики и навигации при дальних морских путешествиях. В 1551 году появились 15-значные тригонометрические таблицы Ретика, ученика Коперника, с шагом 10"^[43]. Потребность в сложных тригонометрических расчётах вызвала в начале XVII века открытие логарифмов, причём первые логарифмические таблицы Джона Непера содержали только логарифмы тригонометрических функций. Среди других открытий Непера — эффективный алгоритм решения сферических треугольников, получивший название «формулы аналогии Непера»^[44]. Алгебраизация тригонометрии, начатая Франсуа Виетом, была завершена Леонардом Эйлером в XVIII веке, после чего алгоритмы решения треугольников приобрели современный вид.

• Признаки подобия треугольников
• Площадь треугольника
• Сферическая тригонометрия
• Сферический треугольник
• Триангуляция
• Тригонометрические тождества
• Тригонометрические функции
• Формулы Мольвейде

Теория и алгоритмы

• Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И. Геометрия: 7—9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. — 19-е изд. — М.: Просвещение, 2009. — 384 с. — ISBN 978-5-09-021136-9.
• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
• Гельфанд И. М., Львовский С. М., Тоом А. Л. Тригонометрия, учебник для 10 класса. — М.: МЦНМО, 2002. — ISBN 5-94057-050-X.
• Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
• Мензел Д. (ред.). Основные формулы физики. Глава 1. Основные математические формулы. — М.: Изд. иностранной литературы, 1957. — 658 с.
• Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии // Энциклопедия элементарной математики (в 5 томах). — М.: Физматгиз, 1963. — Т. 4. — С. 518—557. — 568 с.
• Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948.

История

• Глейзер Г. И. История математики в школе. VII-VIII классы. Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1982. — С. 76—95. — 240 с.
• Глейзер Г. И. История математики в школе. IX-X классы. Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1983. — 352 с.
• История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М.: Наука.
  • История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I.
  • Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II.
  • Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
• Матвиевская Г. П. Очерки истории тригонометрии: Древняя Греция. Средневековый Восток. Позднее Средневековье. — Изд. 2-е. — М.: Либроком, 2012. — 160 с. — (Физико-математическое наследие: математика (история математики)). — ISBN 978-5-397-02777-9.
• Рыбников К. А. История математики в двух томах. — М.: Изд. МГУ, 1960. — Т. I.
• Сираждинов С. Х., Матвиевская Г. П. Абу Райхан Беруни и его математические труды. Пособие для учащихся. — М.: Просвещение, 1978. — 95 с. — (Люди науки).
• Цейтен Г. Г. История математики в древности и в средние века. — М.—Л.: ГТТИ, 1932. — 230 с.
• Цейтен Г. Г. История математики в XVI и XVII веках. — М.—Л.: ОНТИ, 1938. — 456 с.