Решётка Лича
Решётка Лича — решётка определённого типа в 24-мерном пространстве.
Построения
Конструкция через код Голея
Решётка Лича может быть определена с помощью кода Голея типа как образ при сжатии в раз множества векторов таких, что
и для каждого класса j вычетов по модулю 4 двоичное 24-битовое слово v, заданное как
принадлежит .
Конструкция через псевдоевклидово пространство сигнатуры (25,1)
Решётка Лича может быть построена с помощью псевдоевклидова пространства сигнатуры (25,1). А именно, в этом пространстве рассматривается чётная унимодулярная решётка , состоящая из векторов , у которых все координаты одновременно целые или одновременно полуцелые, и при этом , иными словами, скалярное произведение с вектором из всех единиц чётно.
Такой решётке принадлежит изотропный вектор . Отметим, что в силу изотропности , поэтому можно рассмотреть факторпространство . Ограничение скалярного произведения на это факторпространство (опять-таки, в силу изотропности ) корректно определено и оказывается положительно определённым. Образ пересечения исходной решётки с ортогональным дополнением при такой факторизации и будет решёткой Лича в получившемся 24-мерном евклидовом пространстве[1].
Свойства
- Решётка Лича является чётной самодвойственной (в частности, унимодулярной) решёткой с длиной кратчайшего вектора равной 2.
- Решётка Лича реализует максимально возможное[2][3] контактное число в размерности 24. Её контактное число равно[2][3] 196560
- Решётка Лича реализует плотнейшую[4][5] упаковку шаров в размерности 24. Плотность упаковки решётки Лича составляет .
- Группа автоморфизмов решётки Лича — группа Конвея Co0. Она включает в себя некоторые спорадические группы, в том числе Co1 как факторгруппу Co0 по инверсии пространства, Co2[англ.] и Co3[англ.] как подгруппы. Группа Конвея имеет порядок 8 315 553 613 086 720 000. Хотя вращательная симметрия решётки Лича очень высока, её группа автоморфизмов не включает никаких отражений; иными словами, решётка Лича хиральна.
См. также
Литература
- Дж. Конвей, Н. Слоэн. Упаковки шаров, решетки и группы. — М.: Мир, 1990.
Примечания
- ↑ J. H. Conway, N. J. A. Sloane. Chapter 26, Theorem 3(b) // Sphere packings, lattices and groups (англ.). — P. 524.
- ↑ 1 2 «Контактное число шаров и сферические коды» Архивная копия от 14 октября 2008 на Wayback Machine — фильм из серии «Математические этюды»
- ↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Leech Lattice (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Аннотация курса В. В. Успенского Решетка Лича, или По направлению к Монстру Архивная копия от 7 февраля 2009 на Wayback Machine
- ↑ Lisa Grossman. New maths proof shows how to stack oranges in 24 dimensions (англ.) // New Scientist. — 2016. — 28 March. Архивировано 30 июля 2018 года.