Решётка в группе

Перейти к навигации Перейти к поиску

Решётка в локально компактной группе — такая её дискретная подгруппа, факторпространство по которой имеет конечную меру Хаара.

Простейший пример решёток — решётки в $\mathbb {R} ^{n}$ .

Модулярная группа — решётка в PSL(2,R): её фундаментальная область имеет конечную меру.

Часто изучают решётки в группах Ли или (в более общем случае) в полупростых алгебраических группах над локальными полями. В этой области доказано немало результатов, связанных с понятием жёсткости: теорема Мостова о жёсткости, теорема Маргулиса об арифметичности. Любая дискретная кокомпактная подгруппа группы Ли — решётка, но обратное неверно: так, для подгруппы $\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )$ объём фактора по ней конечен, однако $\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )$ не является кокомпактной (фактор по ней — единичное касательное расслоение к модулярной поверхности, имеющей каспидальную особенность, и, тем самым, некомпактной).

Также хорошо изучены решётки в некоторых других классах групп: в группах, связанных с алгебрами Каца — Муди^[англ.], и в группах автоморфизмов регулярных деревьев.

Решётки представляют интерес для многих областей математики: геометрическая теория групп, дифференциальная геометрия, эргодическая теория, комбинаторика.

Литература

Г. А. Маргулис. Арифметические свойства дискретных подгрупп // УМН. — 1974. — Т. 29. — С. 49–98.

Похожие исследовательские статьи

Пространственная форма — связное полное риманово многообразие постоянной секционной кривизны $\text{[math]}$ .

Проективное представление группы $\text{[math]}$ на векторном пространстве $\text{[math]}$ над полем $\text{[math]}$ — это гомоморфизм $\text{[math]}$ в проективную группу

\text{[math]}

Редуктивная группа — алгебраическая группа $\text{[math]}$ , для которой унипотентный радикал её компоненты единицы $\text{[math]}$ является тривиальным. Над незамкнутым полем редуктивность алгебраической группы определяется как редуктивность её над замыканием основного поля.

Теорема Дирихле о единицах — теорема алгебраической теории чисел, описывающая ранг подгруппы обратимых элементов кольца алгебраических целых $\text{[math]}$ числового поля $\text{[math]}$ .

Решётка — набор векторов евклидова пространства $\text{[math]}$ , образующий дискретную группу по сложению.

SL(2,R) или SL₂(R) — это группа вещественных матриц 2 × 2 с единичным определителем:

\text{[math]}

Модулярная кривая $\text{[math]}$ — это риманова поверхность или соответствующая алгебраическая кривая, построенная как фактор комплексной верхней половины плоскости H по конгруэнтной подгруппе $\text{[math]}$ модулярной группы целочисленных 2×2 матриц SL(2, Z). Термин модулярная кривая может также использоваться для ссылок на компактифицированные модулярные кривые $\text{[math]}$ , которые являются компактификациями, полученными добавлением конечного числа точек к фактору. Точки модулярной кривой параметризуют классы изоморфизмов эллиптических кривых, вместе с некоторой дополнительной структурой, зависящей от группы $\text{[math]}$ . Эта интерпретация позволяет дать чисто алгебраическое определение модулярных кривых без ссылок на комплексные числа, и, более того, доказывает, что модулярные кривые являются полем определения либо над полем Q рациональных чисел, либо над круговым полем. Последний факт и его обобщения имеют фундаментальную важность в теории чисел.

Группа Лоренца является группой Ли симметрий пространства-времени в специальной теории относительности. Эта группа может быть реализована как набор матриц, линейных преобразований или унитарных операторов на некотором гильбертовом пространстве. Группа имеет различные представления. В любой релятивистски инвариантной физической теории эти представления как-то должны быть отражены. Сама физика должна быть сделана на их основе. Более того, специальная теория относительности вместе с квантовой механикой являются двумя физическими теориями, которые тщательно проверены и объединение этих двух теорий сводится к изучению бесконечномерных унитарных представлений группы Лоренца. Это имеет как историческую важность в основном течении в теоретической физике, так и связи с более спекулятивными теориями настоящего времени.

Максимальная компактная подгруппа K топологической группы G — это компактное пространство с индуцированной топологией, максимальное среди всех подгрупп. Максимальные компактные подгруппы играют важную роль в классификации групп Ли и, особенно, в классификации полупростых групп Ли. Максимальные компактные подгруппы групп Ли в общем случае не единственны, но единственны с точностью до сопряжённости — они являются существенно сопряжёнными.

Арифметическая группа — это группа, получаемая как целые точки алгебраической группы, например, $\text{[math]}$ Арифметические группы возникают естественным образом при изучении арифметических свойств квадратичных форм и других классических областей теории чисел. Они также являются источником для очень интересных примеров римановых многообразий, а потому представляют интерес для дифференциальной геометрии и топологии. Наконец, эти две области объединяются в теорию автоморфных форм, которая является фундаментальной в современной теории чисел.

В математике монодро́ми́ей называется явление, состоящее в преобразовании некоторого объекта при обнесении его вдоль нетривиального замкнутого пути.

Фуксова модель — это представление гиперболической римановой поверхности R как факторповерхности верхней полуплоскости H по фуксовой группе. Любая гиперболическая риманова поверхность позволяет такое представление. Концепция названа именем Лазаря Фукса.

Фуксова группа — дискретная подгруппа группы PSL(2,R). Группа $\text{[math]}$ может рассматриваться как группа движений гиперболической плоскости, или конформные отображения единичного диска, или конформные отображения верхней полуплоскости. Соответственно, фуксову группу можно рассматривать как группу, действующую на любом из этих пространств. В других трактовках фуксова группа определяется как группа с конечным числом генераторов, либо как подгруппа $\text{[math]}$ , содержащая сохраняющие ориентацию элементы. Также приемлемо определение фуксовой группы, как клейновой, которая сопряжена с подгруппой группы $\text{[math]}$ .

K3-поверхность — связная односвязная компактная комплексная поверхность, допускающая нигде не вырожденную голоморфную дифференциальную форму степени два. В алгебраической геометрии, где рассматриваются многообразия над полями иными, нежели комплексные числа, K3-поверхностью называется алгебраическая поверхность с тривиальным каноническим расслоением, не допускающая алгебраических 1-форм.

Линейная алгебраическая группа — это подгруппа группы обратимых $\text{[math]}$ матриц, которые определены полиномиальными уравнениями. Примером является ортогональная группа, определённая отношением $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ является транспонированной матрицей M.

Классификация Бьянки — классификация вещественных трёхмерных алгебр и групп Ли. Названа в честь Луиджи Бьянки, который доказал её в 1898 году.

Топологическая группа G называется дискретной группой, если в ней нет предельной точки. Эквивалентно, группа G дискретна тогда и только тогда, когда её нейтральный элемент является изолированной точкой. Другими словами, индуцированная топология в G является дискретным пространством. Например, целые числа $\text{[math]}$ образуют дискретную подгруппу вещественных чисел $\text{[math]}$ , а вот рациональные числа $\text{[math]}$ , не образуют. Дискретная группа является топологической группой G, снабжённой дискретной топологией.

Дополнение узла — пространство, получающееся из шара вырезанием цилиндра, заузленного в форме этого узла.

Абелианиза́ция — способ превратить произвольную группу в абелеву. Является полезным инструментом в теории групп, который находит применение в алгебраической топологии.

Группа трилистника — группа узла трилистника, простейшего нетривиального узла. Является классическим объектом изучения комбинаторной теории групп, который возникает в теории кос, алгебраической геометрии и алгебраической К-теории.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.