Риманова информационная метрика

Риманова информационная метрика (англ. Riemann information metric) — единственная с точностью до постоянного множителя риманова метрика на совокупностях распределений вероятностей, инвариантная относительно статистических решающих правил категории. Для двух распределений вероятностей ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ на одном и том же измеримом пространстве элементарных исходов ${\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {A}})}$ риманова информационная метрика задается сферическим расстоянием Бхаттачария — Рао:

${\displaystyle s(P,Q)=2\arccos \int _{\Omega }^{}{\sqrt {P(d\omega )Q(d\omega )}}}$.

В частности, если распределения имеют плотности соответственно ${\displaystyle p(x)}$ и ${\displaystyle q(x)}$, где ${\displaystyle x\in X\subseteq R}$, тогда

${\displaystyle s(P,Q)=2\arccos \int _{X}^{}{\sqrt {p(x)q(x)}}dx}$.

Аналогично в дискретном случае:

${\displaystyle s(P,Q)=2\arccos \sum _{i=1}^{n}{\sqrt {p_{i}q_{i}}}}$, где ${\displaystyle n=|\Omega |}$.

Локально риманова информационная метрика определяется количеством информации по Фишеру: для гладкого семейства

${\displaystyle \{P_{t}|\,t\in \Theta \subseteq R^{k}\}\subset \operatorname {cap} (\Omega ,{\mathfrak {A}})}$

в точке ${\displaystyle P_{\theta }}$ имеет место

${\displaystyle ds^{2}=\sum _{i,j}^{k}dt^{i}dt^{j}I_{ij}(\theta )}$,

где ${\displaystyle I_{ij}(\theta )}$ — элементы информационной матрицы Фишера. Несмотря на данное свойство метрики Бхаттачария — Рао, в теоретических исследованиях она играет менее важную роль, чем дивергенция Кульбака — Лейблера.