Риманова поверхность

Ри́манова пове́рхность — математический объект, традиционное в комплексном анализе название одномерного комплексного дифференцируемого многообразия.

Примерами римановых поверхностей являются комплексная плоскость и сфера Римана. Поверхность Римана позволяет геометрически представить многозначные функции комплексного переменного таким образом, что каждой её точке соответствует одно значение многозначной функции, причём при непрерывном перемещении по поверхности непрерывно изменяется и функция^[1]. Каноническим видом поверхности Римана является представление в виде плоской лепёшки с некоторым количеством дыр^[2].

Топологической характеристикой римановой поверхности является род; поверхность рода $g=0$ — это сфера, поверхность рода $g=1$ — тор^[3].

История

Поверхности такого рода систематически изучать начал Бернхард Риман (1826—1866).

По мнению Феликса Клейна, идея римановой поверхности принадлежит еще Галуа: в предсмертном письме он упоминает среди своих достижений какие-то исследования по «двусмысленности функций» (фр. ambiguïté des functions)^[4].

См. также

Примечания

↑ Голубев, 1941, с. 76.
↑ Голубев, 1941, с. 78.
↑ Риманова поверхность — статья из Математической энциклопедии. Е. Д. Соломенцев
↑ Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии: В 2 т.: Пер. с нем. М.: Наука, 1989. Т. 1, стр. 105.

Литература

Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. — М.—Л.: Гостехтеориздат, 1941. — 400 с.

Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. — М., 1967.

Тематические сайты

Словари и энциклопедии

В библиографических каталогах
BNE: XX555857 BNF: 12122992g GND: 4049991-1 J9U: 987007538989405171 LCCN: sh85114044 NDL: 00569451 NKC: ph118050 SUDOC: 029649609

Похожие исследовательские статьи

Математи́ческий ана́лиз — совокупность разделов математики, соответствующих историческому разделу под наименованием «анализ бесконечно малых», объединяет дифференциальное и интегральное исчисления.

Логари́фм числа $\text{[math]}$ по основанию $\text{[math]}$ определяется как показатель степени, в которую надо возвести основание $\text{[math]}$ , чтобы получить число $\text{[math]}$ . Обозначение: $\text{[math]}$ , произносится: «логарифм $\text{[math]}$ по основанию $\text{[math]}$ ».

Гео́рг Фри́дрих Бе́рнхард Ри́ман — немецкий математик, механик и физик.

Ко́мпле́ксный ана́лиз, тео́рия фу́нкций ко́мпле́ксного переме́нного — раздел математического анализа, в котором рассматриваются и изучаются функции комплексного аргумента.

Конформное отображение — непрерывное отображение, сохраняющее углы между кривыми, а значит и форму бесконечно малых фигур.

Голоморфная функция, иногда называемая регулярной функцией — функция комплексного переменного, определённая на открытом подмножестве комплексной плоскости $\text{[math]}$ и комплексно дифференцируемая в каждой точке.

Аналитическое продолжение в комплексном анализе — аналитическая функция, совпадающая с заданной функцией $\text{[math]}$ в её исходной области C и определённая при этом в области D, содержащей C — продолжение функции $\text{[math]}$ , являющееся аналитическим. Аналитическое продолжение всегда единственно.

Мероморфная функция одного комплексного переменного в области $\text{[math]}$ — голоморфная функция $\text{[math]}$ в области $\text{[math]}$ , которая в каждой особой точке $\text{[math]}$ имеет полюс.

Особенность или особая точка голоморфной функции f — точка комплексной плоскости, в которой эта функция не определена, её предел бесконечен либо предела не существует вовсе.

Автомо́рфная фу́нкция — функция $\text{[math]}$ , аналитическая в некоторой области $\text{[math]}$ и удовлетворяющая в этой области соотношению $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — элемент некоторой счётной подгруппы группы дробно-линейных преобразований комплексной плоскости.

Числова́я фу́нкция — функция, которая действует из одного числового пространства (множества) в другое числовое пространство (множество). Числовые множества — это множества натуральных, целых, рациональных, вещественных и комплексных чисел вместе с определёнными для соответствующих множеств алгебраическими операциями. Для всех перечисленных числовых множеств, кроме комплексных чисел, определено также отношение линейного порядка, позволяющее сравнивать числа по величине. Числовые пространства — это числовые множества вместе с функцией расстояния, заданной на соответствующем множестве.

Комплексный логарифм — аналитическая функция, получаемая распространением вещественного логарифма на всю комплексную плоскость. Существует несколько эквивалентных способов такого распространения. Данная функция имеет широкое применение в комплексном анализе. В отличие от вещественного случая, функция комплексного логарифма многозначна.

Многозна́чная фу́нкция — обобщение понятия функции, допускающее наличие нескольких значений функции для одного аргумента.

А́белев интеграл — интеграл от алгебраической функции вида

\text{[math]}

Теорема Эрмита — утверждение о свойствах решений дифференциальных уравнений первого порядка, в которые не входит независимая переменная.

Модулярная кривая $\text{[math]}$ — это риманова поверхность или соответствующая алгебраическая кривая, построенная как фактор комплексной верхней половины плоскости H по конгруэнтной подгруппе $\text{[math]}$ модулярной группы целочисленных 2×2 матриц SL(2, Z). Термин модулярная кривая может также использоваться для ссылок на компактифицированные модулярные кривые $\text{[math]}$ , которые являются компактификациями, полученными добавлением конечного числа точек к фактору. Точки модулярной кривой параметризуют классы изоморфизмов эллиптических кривых, вместе с некоторой дополнительной структурой, зависящей от группы $\text{[math]}$ . Эта интерпретация позволяет дать чисто алгебраическое определение модулярных кривых без ссылок на комплексные числа, и, более того, доказывает, что модулярные кривые являются полем определения либо над полем Q рациональных чисел, либо над круговым полем. Последний факт и его обобщения имеют фундаментальную важность в теории чисел.

Теорема Римана — Роха связывает комплексный анализ связных компактных римановых поверхностей с чисто топологическим родом поверхности g, используя методы, которые могут быть распространены на чисто алгебраические ситуации.

Теорема Белого — фундаментальное утверждение в алгебраической геометрии: любая неособая алгебраическая кривая $\text{[math]}$ , определённая алгебраическими коэффициентами, представляет компактную риманову поверхность, которая является разветвлённым покрытием сферы Римана с ветвлением лишь в трёх точках. Установлена Геннадием Белым в 1979 году; результат оказался неожиданным, и в связи с ним Гротендиком было создано новое направление в алгебраической геометрии — теория детских рисунков, описывающая с помощью комбинаторики неособые алгебраические кривые над алгебраическими числами.

В математике монодро́ми́ей называется явление, состоящее в преобразовании некоторого объекта при обнесении его вдоль нетривиального замкнутого пути.

Список эпонимов, названных в честь немецкого математика, механика и физика Бернхарда Римана (1826—1866).

Геометрия Римана — одна из трёх «великих геометрий», которые, помимо римановской, включают геометрию Евклида и геометрию Лобачевского.
Гипотеза Римана — одна из проблем тысячелетия, сформулированная Бернхардом Риманом в 1859 году.
Дзета-функция Римана — функция комплексного переменного, определяемая с помощью ряда Дирихле.
Дифференциальное уравнение Римана — обобщение гипергеометрического уравнения, позволяющее получить регулярные сингулярные точки в любой точке сферы Римана.
Дифферинтеграл Римана — Лиувилля — обобщение понятия повторной первообразной, отображающее вещественную функцию в другую функцию того же типа.
Задача Римана о распаде произвольного разрыва — задача о построении аналитического решения нестационарных уравнений механики сплошных сред, в применении к распаду произвольного разрыва.
Инварианты Римана — в газовой динамике — комбинированные параметры для некоторых частных течений газообразной среды.
Интеграл Римана — одно из первых формализаций понятия интеграла.
Интеграл Римана — Стилтьеса — обобщение определённого интеграла, предложенное в 1894 году Стилтьесом.
Кратный интеграл Римана — один из вариантов кратных интегралов по измеримым множествам.
Неравенство Римана — Пенроуза — неравенство, связывающее минимальную массу тела и площадь ловушечной поверхности чёрной дыры.
Обобщённые гипотезы Римана — формулирование гипотезы Римана для L-функций Дирихле.
Основная теорема римановой геометрии — наименование нескольких математических утверждений: Теоремы о связности Леви-Чивиты и Теоремы Нэша о регулярных вложениях.
Производная Римана — одно из симметричных предельных определений производной.
Псевдориманово многообразие — многообразие, в котором задан метрический тензор, невырожденный в каждой точке, но не обязательно положительно определённый.
Риманова геометрия — раздел дифференциальной геометрии, главным объектом изучения которого являются римановы многообразия, то есть гладкие многообразия с дополнительной структурой, римановой метрикой.
Риманова поверхность — традиционное в комплексном анализе название одномерного комплексного дифференцируемого многообразия.
Риманова субмерсия — субмерсия между римановыми многообразиями, которая инфинитезимально является ортогональной проекцией.
Риманово многообразие — вещественное дифференцируемое многообразие M, в котором каждое касательное пространство снабжено скалярным произведением g — метрическим тензором, меняющимся от точки к точке гладким образом.
Субриманово многообразие — математическое понятие, обобщающее риманово многообразие.
Сумма Римана — одно из классических определений интегральных сумм.
Сфера Римана — риманова поверхность, естественная структура на расширенной комплексной плоскости, являющаяся комплексной проективной прямой.
Тензор кривизны Римана — стандартный способ выражения кривизны римановых многообразий, а в общем случае — произвольных многообразий аффинной связности, без кручения или с кручением.
Теорема Римана об отображении — важнейшая закономерность 2-мерной конформной геометрии и одномерного комплексного анализа.
Теорема Римана об условно сходящихся рядах — теорема математического анализа, утверждающая, что перестановкой членов произвольного условно сходящегося ряда можно получить произвольное значение.
Теорема Римана об устранимой особой точке — утверждение из теории функций комплексной переменной о заполнении устранимого разрыва.
Теорема Римана — Роха — важная теорема математики, особенно в комплексном анализе и алгебраической геометрии, помогающая в вычислении размерности пространства мероморфных функций с предписанными нулями и разрешёнными полюсами.
Условия Коши — Римана — соотношения, связывающие вещественную и мнимую части всякой дифференцируемой функции комплексного переменного.
Формула Римана — фон Мангольдта — выражение, описывающее распределение нулей дзета-функции Римана.
Функция Римана — одна из функций, определённых Риманом: Дзета-функция Римана, Кси-функция Римана, Тета-функция Римана, Функция Римана, Функция Римана, Функция Римана (ТФДП).
Функция Римана (ТФДП) — пример функции вещественной переменной, которая непрерывна на множестве иррациональных чисел, но разрывна на множестве рациональных.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.